Olympiade mathématique
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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M@thIsTheBest
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par M@thIsTheBest » 10 Juin 2012, 22:43
Voilà une question proposée dans l'olympiade international de mathématique 2006:
Trouver tous les couples (x,y) (x et y éléments de
) tq :
.
voilà deux solutions particulières:
(0,2) et (0,-2).
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M@thIsTheBest
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par M@thIsTheBest » 11 Juin 2012, 18:27
Pas de réponses ?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 15 Juin 2012, 12:17
M@thIsTheBest a écrit:Voilà une question proposée dans l'olympiade international de mathématique 2006:
Trouver tous les couples (x,y) (x et y éléments de
) tq :
.
voilà deux solutions particulières:
(0,2) et (0,-2).
Salut !
Tu cherches les solutions ou tu nous proposes cet exercice en tant que défi ?
Déjà
Je ne parviens pas à la résoudre , toutefois, résoudre cette équation revient à résoudre :
.
Après je ne suis pas sûr, mais on peut peut-être exploiter le faitr que que
pour
, on a :
.
Or
ssi
ou
.
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manoa
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par manoa » 15 Juin 2012, 14:32
Dinozzo13 a écrit:Je ne parviens pas à la résoudre , toutefois, résoudre cette équation revient à résoudre :
.
euh,
plutôt :we:
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Matt_01
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par Matt_01 » 15 Juin 2012, 18:10
On réécrit de cette manière :
Deux possibilités :
avec
impair (on regarde les valuations 2-adiques) (On suppose y,x > 0)
Alors :
.
Mais, par simple comparaison de grandeur, ceci implique
avec
ou
pour plus de rapidité
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M@thIsTheBest
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par M@thIsTheBest » 15 Juin 2012, 19:36
Je doit d'abord corriger l'énoncé:
(ne pose pas de problème car si x<0 il n'y a pas de solutions) mais
.( la remarque de Dinozzo13 est très importante)
Et félicitation à Matt_01 puisque il a trouvé" le fil d'Ariane".
Alors les solutions sont (0,2);(0,-2);(4;23) et (4;-23).
Et voilà la démonstration la plus exacte + les autres énoncés:
http://www.cms.org.cn/cms/news/2006/20060718-2.pdf
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