Equation diff avec retard

[absolut-diabolik]

Bonjour,
On pose un problème




On doit résoudre cette équation sur [0,1].
Déjà je ne sais pas comment faire pour mettre ce système sur [0,1] :mur: (INTERVALLE ? ? ?) et je sais que tout doit découler de là. A moins qu'il n'y ait une méthode pour résoudre les équa diff avec retard et je suis preneuse !

Piiiitiééé j'en peux plus je me sens vraiment bête pour le coup !

[Black Jack]

y' = -y(t-1)
Est une équation diff à variables séparables.

y'/y = -t+1
dy/y = (-t+1) dt
On intègre : S dy/y = S (-t+1) dt
...

Et on trouve y en fonction de t (et d'une constante d'intégration)

et par y(t) = 1 pour t dans [-1 ; 0], on sait que y(0) = 1

On peut donc déterminer la valeur de la constante d'intégration par cette condition iniale.

Sauf erreur, on trouve pour t dans [0 ; 1] : y = e^(-t²/2 + t)

Essaie.

:zen:

[Zweig]

Jette un oeil au message de Guillaume, il donne une méthode : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,19792

[JeanJ]

Attention : il me semble que dans l'énoncé du problème y'(t)=-y(t-1) ne signifie pas y'(t)=-y(t)*(t-1) ce qui serait une équation à variables séparables.
y(t-1) veut probablement dire y fonction de (t-1), au quel cas ce n'est pas à variables séparables, mais c'est une equation, différentielle fonctionnelle.
Si c'est bien cela, le problème est très simple :
Il est dit que y(t)=1 pour -1donc y(t-1)=1 pour 0y'(t) = -y(t-1) = -1
et il n'y a qu'à résoudre y'(t)=-1 avec la condition y(0)=1

[hammana]

Si c'est cela que cela signifie ...

t dans [0 ; 1] ---> (t-1)à dans [-1 ; 0]

et donc y(t-1) = 1 pout t dans [0 ; 1]

on a alors pour t dans [0 ; 1] : y' = -1

Et donc y = -t + K pour t dans [0 ; 1]

et comme y(0) = 1 ---> K = 1

y(t) = 1 - t pour t dans [0 ; 1]

:zen:

Edit : Désolé, je n'avais pas vu le message de JeanJ en envoyant le mien. :hein:

On peut chercher une solution numérique. Avec excel j'obtiens la figure suivante.

[img]http://i.imgur.com/WTTro.jpg[/img]

on peut aussi décaler de 1 vers la droite la fonction y et obtenir la valeur de y' en fonction de t. Il faut alors opérer séparémént pour les intervalles de t successifs 1-2; 2-3; 3-4 etc.
Dans l'intrvalle 1-2 je trouve y'=t-2; y=t*t/2-2*t+1.5.
Les valeurs calculées correspondent bien avec les valeurs numériques du tableau Excel
Dans l'intervalle 2-3 je trouve y=-t^3/6+3t^2/2-4*t+8.5/3

[Black Jack]

On peut chercher une solution numérique. Avec excel j'obtiens la figure suivante.

[img]http://i.imgur.com/WTTro.jpg[/img]

on peut aussi décaler de 1 vers la droite la fonction y et obtenir la valeur de y' en fonction de t. Il faut alors opérer séparémént pour les intervalles de t successifs 1-2; 2-3; 3-4 etc.
Dans l'intrvalle 1-2 je trouve y'=t-2; y=t*t/2-2*t+1.5.
Les valeurs calculées correspondent bien avec les valeurs numériques du tableau Excel
Dans l'intervalle 2-3 je trouve y=-t^3/6+3t^2/2-4*t+8.5/3

L'énoncé précise "On doit résoudre cette équation sur [0,1]."

C'est ce que j'ai fait dans mon précédent message ... Et c'est aussi ce qu'avait fait JeanJ.

:zen:

[hammana]

L'énoncé précise "On doit résoudre cette équation sur [0,1]."

C'est ce que j'ai fait dans mon précédent message ... Et c'est aussi ce qu'avait fait JeanJ.

:zen:

J'avais mal lu l'énoncé! J'ai tout remis en ordre