Polynômes d'endomorphisme

[Judoboy]

Plop, je sèche un peu là-dessus (pourtant je crois que c'est censé être facile...)

On a K un corps, E un K-ev, et u appartient à L(E). Si P est dans K[X], P(u) est l'endomorphisme a0.IdE + a1.u+a2.u²+...+an.u^n.

On note µ(u) le polynôme unitaire minimal de u.

Si x appartient à E, on note I(u,x)={P€K[X] ; P(u)(x)=0}


D'abord on me balance 2 résultats :

1)il existe un unique polynôme unitaire R(u,x) tel que I(u,x) soit l'ensemble des multiples de R(u,x) ; ça me paraît OK puisque I(u,x) est un idéal de K[X] qui est principal puisque K est un corps.

2)Pour tout x de E, R(u,x) divise µ(u), corollaire immédiat puisque µ(u) appartient à tous les I(u,x).

Questions maintenant :

a) montrer que µ(u) est un multiple des R(u,x) pour x dans E (ok, cf au-dessus), et que tout multiple des R(u,x) est un multiple de µ(u) (ok, les polynômes annulateurs de u forment un idéal engendré par µ(u)).


b) Soit (e1,...,en) une base de E. Montrer que µ(u) est le ppcm des R(u,ei), pour i allant de 1 à n.

idem, si P € K[X] est un multiple des R(u,ei) alors P(u)=0, donc P est un multiple de µ(u) (Cf. question a) )

c)Soient x,y dans E, montrer que si R(u,x) et R(u,y) sont premiers entre eux, R(u,x+y)=R(u,x)*R(u,y).


d) Montrer qu'il existe x dans E tel que µ(u)=R(u,x).

e) On dit que E est u-monogène s'il existe un vecteur x tel que E soit l'ensemble des P(u)(x),P€K[X].

Montrer que E est u-monogène ssi µ(u)=Khi(u) (le polynôme caractéristique de u)

f) On suppose que E est u-monogène, soient F un ss-ev de E stable par u et v=u|F (le symbole fait pas cette taille-là d'habitude, mais je suppose que c'est la restriction de u à F) Prouver que F est v-monogène.


Je suis bloqué à la c pour l'instant :(

[Skullkid]

Salut, pour la c tu peux montrer que chacun des deux polynômes R(u,x+y) et R(u,x)R(u,y) divise l'autre (pour montrer que le deuxième divise le premier il va falloir utiliser le fait que R(u,x) et R(u,y) sont premiers entre eux).

[Judoboy]

Up, j'avais un peu oublié cet exo, je l'ai repris et je suis bloqué au même endroit...

J'avais déjà essayé de faire ce que tu conseilles Skullkid mais j'arrive pas à finir :

On a facilement [R(u,x)*R(u,y)](u)(x+y) = 0 donc R(u,x)*R(u,y) est un multiple de R(u,x+y).

On sait que R(u,x+y)(u)(x) = - R(u,x+y)(u)(y).

Soit R(u,x+y)(u)(x)=0=R(u,x+y)(u)(y) et c'est fini car alors R(u,x+y) est un multiple de R(u,x) et de R(u,y) donc de R(u,x)*R(u,y).


Sinon on écrit R(u,x)*R(u,y)= P*R(u,x+y). Et là je bloque parce que j'ai pas nécessairement P(u)(x)=P(u)(y)=0...

[Nightmare]

Hello,

quelque chose me chiffonne : Dans cet exercice, que prend-on comme définition du polynôme minimal?

[Judoboy]

C'est pas précisé, j'ai supposé que c'était le polynôme unitaire de plus bas degré qui annule u, y a d'autres définitions possibles ?

[Skullkid]

Up, j'avais un peu oublié cet exo, je l'ai repris et je suis bloqué au même endroit...

J'avais déjà essayé de faire ce que tu conseilles Skullkid mais j'arrive pas à finir :

J'arrive plus à retrouver le papier sur lequel j'avais fait la démo... Du coup je suis en train de re-chercher. Vu ce que je t'avais répondu, la démo a dû me sembler pas trop compliquée, donc soit je vais la retrouver bientôt, soit je m'étais trompé sans m'en rendre compte, soit j'ai fait une Fermat...

[Judoboy]

J'arrive plus à retrouver le papier sur lequel j'avais fait la démo... Du coup je suis en train de re-chercher. Vu ce que je t'avais répondu, la démo a dû me sembler pas trop compliquée, donc soit je vais la retrouver bientôt, soit je m'étais trompé sans m'en rendre compte, soit j'ai fait une Fermat...

J'ai pas dit que c'était dur hein, c'est le premier exercice du premier chapitre de mon bouquin

[Nightmare]

Et là je bloque parce que j'ai pas nécessairement P(u)(x)=P(u)(y)=0...

Tu es sûr? Il me semble bien que Ker(R(u,x)) et Ker(R(u,y)) soient en somme directe!

[Judoboy]

Tu es sûr? Il me semble bien que Ker(R(u,x)) et Ker(R(u,y)) soient en somme directe!

Je viens de voir ça ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_d%27endomorphisme , mais je ne connaissais pas cette propriété, peut-être pour ça que je bloquais...

[Skullkid]

Ah voilà c'est le lemme des noyaux que j'oublie 1 fois sur 2... Je venais d'y repenser, dammit !