Suites et intégrales TS

[jehuet]

soit le plan P rapporté à un repère orthonormal (O;i;j), soit I l'intervalle [0,1] et n un entier naturel non nul. Soit fn la fonction non nul définie par fn(x)=(1-X2)n et C(n) la courbe représentative de f(n) dans le repère (O;i;j).
Q1°)
Pour n et m entiers naturels non nul, déterminer le nombres de points d'intersection de Cm et de Cn pour m>n.

Q2°)
soit la suite U(n) définie sur I par U(n) = intégrale de 0 à 1 de (1-X2)n dx

Exprimez Un+1 en fonction de n et de Un. (On pourra utiliser une intégration par partie judicieuse)

[Luc]

Bonjour jehuet,

qu'as-tu cherché pour l'instant?

je suppose que c'est plutôt , non?
1 - Quelle est la condition pour qu'un point soit à la fois sur Cn et Cm ?
2 - Commence par calculer U(0) et U(1)
Dans l'intégration par partie, qu'as-tu envie de choisir comme fonctions u et v?

Bon courage,
Luc

[jehuet]

oui c'est f_n(x)=(1-X^2)^n.

[jehuet]

fn(x) = (1-x²)^n
donc U(n+1) = intégrale de 0 à 1 de (1-x²)^(n+1) dx
= intégrale de 0 à 1 de (1-x²)*(1-x²)^n dx
= intégrale de 0 à 1 de (1-x²)^n dx - intégrale de 0 à 1 de x²(1-x²)^n dx
= Un - intégrale de 0 à 1 de x²(1-x²)^n dx.

[chan79]

fn(x) = (1-x²)^n
donc U(n+1) = intégrale de 0 à 1 de (1-x²)^(n+1) dx
= intégrale de 0 à 1 de (1-x²)*(1-x²)^n dx
= intégrale de 0 à 1 de (1-x²)^n dx - intégrale de 0 à 1 de x²(1-x²)^n dx
= Un - intégrale de 0 à 1 de x²(1-x²)^n dx.

Salut
Pour l'intégrale de 0 à 1 de x²(1-x²)^n dx, essaie par parties
u'= x (1-x²)^n
v= x
Tu pourras exprimer U(n+1) en fonction de n et de U(n)
Tu pourras aussi en déduire U(n) en fonction de n (même si ce n'est pas demandé)