[Matrice] im,ker, bases et équations

[mamax49]

Salut a tous

j'ai besoin d'aide a propos des matrice :mur:

voila les question ainsi que mes début de raisonnement

et enfin dernier exos sur les vecteur
U1 = (1,4,1) U2 =(2,7,1) U3 =(1,5,2)
V1=(1,5,1) V2=(1,3,-1)

Soit le sous espace engendré par u1, u2, u3 etcelui engendré par V1, V2

j'ai remarquer que 3U1-U2=U3 je sais que c'est important mais pas pour quoi . ..

(a) trouver bases et équation pour U et V

équation de U :

x +2y +z=p
4x + 7y +5z =q
x + y +2z = r


x + 2y +z =p
-y +z = r-p
-y +z = q - 4p


x + 2y +z =p
-y +z = r-p
0 = q-4p -r -p

donc l'équation pour U est : 0= q -5p -r

une base peut etre : ( -1, -1, 4) ?


ensuite trouver base et équation de V et je ne sais pas comment faire car on a que 2 équation et je ne peut pas faire le pivot de gauss avec 2 équation a 3 inconnue ou alors je ne vait pas aller loin .. .

x + 5y + z =p
x +3y -z= q


x +5y +z= p
-2y -2z = q-p

et la je bloque.

enfin il faut trouver une base et deux équation pour
et prolonger la base trouvée pour à une base de et la aussi je ne sais pas par où commencer.

merci de m'aider

[zork]

pour la matrice B, ton système est juste et tu trouves que kerB est de dimension 1

Par le théorème du rang, dim(ImB)=2

on poses, C={e1,e2,e3} la base canonique de R^3. On notes U1,U2,U3 les vecteurs colonnes de la matrices B. on a alors
U1=e1+4e2+e3
U2=e1-5e2+4e3
U3=e1+e2+2e3

il te reste à trouver quel vecteur est combinaison linéaire des 2 autres

[mamax49]

merci pour cette réponse rapide donc si j'ai bien comprit j'ai bon a l'exercice qui me demande de trouver une base de Ker(B) ?

et je n'arive pas a trouver la conbinaison l'ineaire aprés 45Minute de recherche . .. tu est sure qu'ellle existe? et une fois trouver elle me servira a quoi? a déterminer une base de im(B) ?

[alm]

Salu
Arrivé là

x + y + z =0
3y + z =0

tu déduit : z = - 3y et x = -y-z = 2y
Ainsi les vecteurs de sont de la forme :
Donc


Pour l'image c'est le sous-espace engendré par les colonnes de la matrice A




La remarque de zork t dit que Imf est de dimension , essaye de confirmer ça en prouvant qu des trois colonnes une est combinaison linéaire des deux autres qui restent et qui sont indépendantes.


Edit : correction d'une erreur d'inattention x=-y-z au lieu de x=-3y-z ....

[alm]

Oui, je te donne celle là mais à toi de checher d'où elle sort :



une fois fait, oui, tu as une base de (ayant deux vecteurs)

[mamax49]

merci MOHAMED_AIT_LH pour les aides

je ne comprend pas d'où tu sort le x = -y -3z =8y

car si on renplace Z dans la 1ere équation on a :

x + y + z =0

x = -y- 3y = -4y



"La remarque de zork t dit que Imf est de dimension , essaye de confirmer ça en prouvant qu des trois colonnes une est combinaison linéaire des deux autres qui restent et qui sont indépendantes."

oui merci a zork de me l'avoir dit : C2 = -2C1+3C3

et je n'ai pas comprit comment avoir une base a partir de sa ?

(1,-2,3) est une base? :mur:

[zork]

si tu as C2 = -2C1+3C3 cela veut dire que C2 est combinaison linéaire de C1 et C3
donc ImB=Vect{C1,C3}. De plus C1 et C3 sont indépendants donc une base de ImB est C'={C1,C3}

[alm]

merci MOHAMED_AIT_LH pour les aides

je ne comprend pas d'où tu sort le x = -y -3z =8y

car si on renplace Z dans la 1ere équation on a :

x + y + z =0

x = -y- 3y = -4y

tu as raison (voir en haut j'ai réctifié) Toi aussi tu t'es trompé c'est



Pour la base zork t' a répondu mais tu peux aussi justifier par
La famille est génératrice de et elle a deux vecteurs et est de dimension ( c'est-à-dire le nombre de vecteurs de notre famille génératrice)

[mamax49]

d'accord merci zork, et si il n'y a pas de conbinaison linéaire alors une base peut etre : Vest(c1,c2,c3) avec c1,c2,c3 libre ?

[alm]

si il n'y a pas de conbinaison linéaire alors une base peut etre : Vest(c1,c2,c3) avec c1,c2,c3 libre ?

Si aucun des vecteurs n'était combinaison linéaires de ceux qui restaient , la famille serait libre et comme elle est génératrice elle serait à la fois libre et génératrice don elle serait une base.


Regles d'or :
*Une famille à la fois libre est génératrice est une base.
*une famille génératrice dont le nombre de vecteurs est égal à la dimension du sous espace qu'elle engendre est une base de celui-ci.
*une famille libre d'un sous espace dont le nombre de vecteurs est égal à la dimension du celui-ci en est uen base

[mamax49]

merci MOHAMED_AIT_LH

donc si j'ai bien comprit cela donne :

a) déterminer une bases de im(B) :

étant donner la conbinaison linéaire : C2 = -2C1+3C3 alors Vect(C1,C3) forme une base car c'est c1,c2 forme un systeme libre et générateur

[alm]

merci MOHAMED_AIT_LH
étant donner la conbinaison linéaire : C2 = -2C1+3C3 alors Vect(C1,C3) forme une base car c'est c1,c2 forme un systeme libre et générateur

oui mais il faut prouver que la famille est effectivement libre
Si on veut être dispensé de ctte preuve , on donne l'argument : la famille est génératrice et compte vecteurs et
La dimesnion égale à 2 est une conséquence du théorème du rang.

[mamax49]

ok merci mohamed, je vait éditer mon 1er message pour les 2 derniere question