Famille libre

[baloo00]

Bonjour, je dois montrer que toute famille de polynômes non nuls de degrés distincts est libre, et je ne sais pas comment m'y prendre .. Merci de votre aide

[alm]

Bonsoir,

Bonjour, je dois montrer que toute famille de polynômes non nuls de degrés distincts est libre, et je ne sais pas comment m'y prendre .. Merci de votre aide

tu peux raisonner par récurrence sur le nombre des éléments de cette famille.
Pour l'hérédité, soit tel que toute famille de polynômes de de degrés deux à deux distincts est libre.
Soit alors une famille de polynômes de degrés deux à deux distincts et soit le degré de pour tout . L'indexation est faite de sorte que la suite est strictement croissante.
Soit une famille de scalaires tel que : .
Si , on aurait : ,chose impossible puisqu'il s'agit du polynôme nul, donc et par suite on a : .
L'hypothése de récurrence permet de conclure.

[girdav]

Sinon, on pourrait trouver un entier et des scalaire non tous nuls tels que et les sont par degré strictement croissante. Note le plus grand entier tel que . Divise par et fais tendre vers l'infini.

[alm]

et fais tendre vers l'infini.

Salut gurdav:il n'a pas précisé le corps de base mais c'est probalement ou de sorte qu'on peut utiliser les fonctions polynomilaes associées de cette façon ( chose non forcément valable en caractéristique finie)

[girdav]

Salut gurdav:il n'a pas précisé le corps de base mais c'est probalement ou de sorte qu'on peut utiliser les fonctions polynomilaes associées de cette façon ( chose non forcément valable en caractéristique finie)

Exact, j'avais inconsciemment supposé que l'on se plaçait dans le corps des réels ou complexes. Ta preuve a l'avantage de marcher sans cette hypothèse.