Calcul de la somme des (-1)^n/(4n+1)

[Stringer]

Bonjour, je suis face à un exercice ou il s'agit de calculer :




Pour l'instant j'ai écrit:



Mon soucis est que je n'arrive pas à justifier l'échange du signe somme et du signe intégral .

Je crois que le théorème d'interversion série intégrale sur un intervalle quelconque (on travail ici sur [0,1[ ne s'applique pas).

Quant au théorème de convergence dominée, je ne parviens pas à montrer l'hypothèse de domination. :marteau:

Un peu d'aide serait bienvenue :we:

Merci^^

[Skullkid]

Bonjour, le théorème d'interversion série-intégrale ne fonctionne en effet pas, parce que diverge. Dans ton intégrale, le fait de travailler sur [0,1] ou [0,1[ ne change rien puisque l'intégrande est définie sur [0,1].

Il te reste la convergence dominée. Tu dois donc majorer par une quantité indépendante de n et intégrable vis-à-vis de t sur [0,1]. Utilise la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique.

[lirabo]

Bonjour, je suis face à un exercice ou il s'agit de calculer :




Pour l'instant j'ai écrit:



Mon soucis est que je n'arrive pas à justifier l'échange du signe somme et du signe intégral .

Je crois que le théorème d'interversion série intégrale sur un intervalle quelconque (on travail ici sur [0,1[ ne s'applique pas).

Quant au théorème de convergence dominée, je ne parviens pas à montrer l'hypothèse de domination. :marteau:

Un peu d'aide serait bienvenue :we:

Merci^^

Tu penses savoir integrer entre 0 et 1 ?
Si oui, tu peux peut-être ne pas sommer jusqu'à l'infini mais N, inverser somme et intégrale.
et faire tendre N vers l'infini.
Sans garantie...

[Stringer]

Rebonsoir, voici une majoration



or 2/(1+t^4) est intégrable sur [0,1], donc on peut appliquer la convergence dominée et :




d'ou :



c'est ça ?

[Skullkid]

C'est ça pour la majoration (y a ptet un problème dans tes majorations intermédiaires mais le majorant final est correct), le seul autre point à préciser pour satisfaire les hypothèses du théorème (et c'est juste là qu'il faut faire la distinction entre [0,1[ et [0,1] si on veut être parfaitement rigoureux) c'est que converge bien simplement, sur [0,1[, vers . Donc, tu trouves que vaut l'intégrale de 1/(1+t^4) sur [0,1[, qui est évidemment égale à l'intégrale sur [0,1].

Après t'as plus qu'à t'amuser à calculer l'intégrale.

[Stringer]

ah voila, c'est pour ça que je parlais de travailler sur [0,1[ plus tôt :we:

Sinon où vois tu un problème dans la majoration ?

Quant au calcul de l'intégrale, ça c'est un autre problème :mur:

[Skullkid]

Sinon où vois tu un problème dans la majoration ?

Dans le calcul de la somme géométrique, au numérateur ce n'est pas t^(4n+1) mais t^(4n+4). Mais bon de toute façon le t disparaît après donc c'est pas bien grave.

[Stringer]

Ah en effet, merci beaucoup :lol3:

[chan79]

Ah en effet, merci beaucoup :lol3:

C'est peut-être un peu la même chose mais tant pis ...
= dt=dt==-
La valeur absolue de la seconde intégrale se majore par qui tend vers 0.
La limite cherchée est
Ensuite

ce qui permet de transformer en somme

[lirabo]

C'est peut-être un peu la même chose mais tant pis ...
= dt=dt==-
La valeur absolue de la seconde intégrale se majore par qui tend vers 0.
La limite cherchée est
Ensuite

ce qui permet de transformer en somme

Si j'en crois Wolfram Alpha, ça donnerait

[chan79]

Si j'en crois Wolfram Alpha, ça donnerait
2.arctan(1+\sqrt2)-2.arctan(1-\sqrt2))[/TEX]

oui, à partir de et , on peut montrer que ce qui permet de présenter le résultat sous la forme :
=

[Stringer]

C'est peut-être un peu la même chose mais tant pis ...
= dt=dt==-
La valeur absolue de la seconde intégrale se majore par qui tend vers 0.
La limite cherchée est
Ensuite

ce qui permet de transformer en somme

Ah très bien, en fait j'essayais tellement d'appliquer un des gros théorèmes de spé que je pensais pas à ce genre de majoration simple. Merci beaucoup ! :we: