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Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 10:37
Je ne comprends pas pourquoi tu as dit que j'avais prouvé ça :
MOHAMED_AIT_LH a écrit:Pour le momennt, tu as prouvé que :
Pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n \in \mathbb N)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n \geq 2)
fixé, on a ce qui suit :
[CENTER]
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(\forall (x_1,\cdots,x_n) \in {\mathbb R}^n)(\exists m \in \{0, \cdots , n-1\}) \qquad \lfloor \sum_{k=1}^n x_k \rfloor =m+ \sum_{k=1}^n \lfloor x_k \rfloor)
[/CENTER]
Puisque j'ai montré que :
Dinozzo13 a écrit:![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sum_{k=1}^n p_k \le x < n + \sum_{k=1}^n p_k)
donc j'en conlus qu'il y a
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
valeurs entières que peut prendre
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x=\sum_{k=1}^n x_k)
.
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alm
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par alm » 31 Mai 2012, 10:44
Tu n'as pas dis ça ?
Dinozzo13 a écrit:donc j'en conlus qu'il y a
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
valeurs entières que peut prendre
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x=\sum_{k=1}^n x_k)
.
quelles sont les n valeurs ?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 10:52
et bien
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m + \sum_{k=1}^n x_k)
où
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
varie de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?0)
à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n-1)
.
Mais c'est le passage à la partie entière que je ne saisis pas :
Comment à partir de mon égalité arrives-tu à dire que :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\lfloor \sum_{k=1}^n x_k \rfloor = m +\sum_{k=1}^n \lfloor x_k \rfloor)
?
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alm
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par alm » 31 Mai 2012, 10:55
Tu as prouvé que si on pose
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?p=\sum p_k)
alors
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?p \leq x < p+n)
donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x \in [p,p+n[)
or
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[p,p+n[ =\bigcup_{m=0}^{n-1} [p+m,p+m+1[)
Alors !!
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 11:09
MOHAMED_AIT_LH a écrit:Tu as prouvé que si on pose
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?p=\sum p_k)
alors
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?p \leq x < p+n)
donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x \in [p,p+n[)
or
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[p,p+n[ =\bigcup_{m=0}^{n-1} [p+m,p+m+1[)
Alors !!
ben du coup
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\bigcup_{m=0}^{n-1} [p+m,p+m+1[ = \{p\}+ \bigcup_{m=1}^{n-1} [m,m+1[)
, mais je ne vois pas le lien :triste:
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 11:31
Au pire, tu n'aurais pas un exemple plus concret pour m'aider à comprendre ?
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alm
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par alm » 31 Mai 2012, 12:48
Qu'est ce que
par définition ?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 13:16
ben si j'écris cette ensemble en extension, cet ensemble est égal à :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[p,p+1[\cup [p+1,p+2[\cup[p+2,p+3[\cup...\cup [p+n-1,p+n[)
Donc x appartient à [p,p+1[, ou x appartient à [p+1,p+2[, ou x appartient à [p+2,p+3[ ... ou encore x appartient à [p+n-1,p+n[
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 13:41
ben si j'écris cette ensemble en extension, cet ensemble est égal à :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[p,p+1[\cup [p+1,p+2[\cup[p+2,p+3[\cup...\cup [p+n-1,p+n[)
Donc x appartient à [p,p+1[, ou x appartient à [p+1,p+2[, ou x appartient à [p+2,p+3[ ... ou encore x appartient à [p+n-1,p+n[
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par alm » 31 Mai 2012, 13:52
Redis tout ça en utilisant le quantificateur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\exists)
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 14:28
Je dirais qu'il existe un sous-intervalle [a,b[ de [p,p+n[ tel que x appartient à [a,b[.
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alm
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par alm » 31 Mai 2012, 14:43
Dinozzo13 a écrit:Je dirais qu'il existe un sous-intervalle [a,b[ de [p,p+n[ tel que x appartient à [a,b[.
Pour progresser, il ne fait pas égliger les résultats déjà établits
Je te demnande de TRADUIRE l'appartenance de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x)
à la réunion ...
Il fallait dire tout simplement
il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m \in \{0,...,n-1\})
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x \in [p+m,p+m+1[)
et du coup tu peux traduire ça en terme de parti entière , mais je te demande d'abord : est ce que tu as compris ou non ?
PS: Je veux tout simplement dire que lorsque tu as parlé de sous-intervalle , ce n'est pas n'importe lequel qui va nous servir quoique ce que tu as dit est vrai mais il aurait fallu utiliser la famille des intervalle
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?([p+m,p+m+1[ )_{0 \leq m < n})
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 15:00
MOHAMED_AIT_LH a écrit:Pour progresser, il ne fait pas égliger les résultats déjà établits
Je te demnande de TRADUIRE l'appartenance de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x)
à la réunion ...
Il fallait dire tout simplement
il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m \in \{0,...,n-1\})
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x \in [p+m,p+m+1[)
et du coup tu peux traduire ça en terme de partie entière , mais je te demande d'abord : est ce que tu as compris ou non ?
PS: Je veux tout simplement dire que lorsque tu as parlé de sous-intervalle , ce n'est pas n'importe lequel qui va nous servir quoique ce que tu as dit est vrai mais il aurait fallu utiliser la famille des intervalle
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?([p+m,p+m+1[ )_{0 \leq m < n})
Ah je crois avoir compris !
"
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\exists m \in \{0,...,n-1\})
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x \in [p+m,p+m+1[)
"
équivaut à
"
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\exists m\in \{0,...,n-1\})
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(x)=m+p)
".
Et du coup, on a bien l'égalité que tu as établis précédemment :++:
P.S. : Pour l'intervalle en question, j'ai bien compris que c'était
un seul intervalle de la famille
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?([p+m,p+m+1[ )_{0 \leq m < n})
, mais je ne savais pas comment le noter :+++:
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alm
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par alm » 31 Mai 2012, 15:11
Le dialogue était très long, mais à mon avis c'est dans ton interrêt car comme ça les idées seront gravées..
Réciproquement, soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m \in \{0,..,n-1\})
On va construire des nombres réels
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_1,...,x_n)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(\sum x_k)=m + \sum E(x_k))
indication : Utilise les
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k=\frac{k}{m+1})
pour des valeurs de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
convenables et prends
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k =0)
pour celles qui restent ....
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 15:20
MOHAMED_AIT_LH a écrit:Le dialogue était très long, mais à mon avis c'est dans ton interrêt car comme ça les idées seront gravées..
100% d'accord :+++:
Au fait dans mon P.S., je dis que l'intervalle est unique parce que c'est évident à mes yeux.
Dois-je justifier cette unicité ou je peux la dire librement ?
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alm
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par alm » 31 Mai 2012, 15:28
Dinozzo13 a écrit:100% d'accord :+++:
Au fait dans mon P.S., je dis que l'intervalle est unique parce que c'est évident à mes yeux.
Dois-je justifier cette unicité ou je peux la dire librement ?
L'important dans la démo ce n'est pas l'intervalle mais l'entier
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
L'intervalle c'est juste l'intermediaire pour acceder à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
La réunion (voir tes cours de début de l'année) est attachée au quantificateur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\exists)
mais ici justement nos intevalles sont paramétrées par
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
, don au lieu d'attacher l'intervalle au quantificateur on lui attache le paramètre , ce qui est dans notre interrét ds cette demo
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 15:40
MOHAMED_AIT_LH a écrit:L'important dans la démo ce n'est pas l'intervalle mais l'entier
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
L'intervalle c'est juste l'intermediaire pour acceder à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
La réunion (voir tes cours de début de l'année) est attachée au quantificateur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\exists)
mais ici justement nos intevalles sont paramétrées par
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
, don au lieu d'attacher l'intervalle au quantificateur on lui attache le paramètre , ce qui est dans notre interrét ds cette demo
Oui donc vu que l'intervalle est unique, l'entier
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
rattaché l'est également ici.
Sinon par rapport à tout ce qui à été dit, où en est-on ?
- Au début on a montrer que pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
réels
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k)
, il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(\Sigma(x_k))=m+\Sigma(E(x_k)))
;
- Ensuite tu m'as dit de montrer : pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m\in\{0,n-1\})
, il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
réels
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(\Sigma(x_k))=m+\Sigma(E(x_k)))
;
- Puis après tu m'as parlé de deux ensemble
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A_n)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?B_n)
;
- Et là tu me donnes une indication.
Que dois-je faire ?
Je commence à oublier ce qu'on recherche... :mur:
-
alm
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par alm » 31 Mai 2012, 15:58
Dinozzo13 a écrit:Oui donc vu que l'intervalle est unique, l'entier
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
rattaché l'est également ici.
Sinon par rapport à tout ce qui à été dit, où en est-on ?
- Au début on a montrer que pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
réels
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k)
, il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(\Sigma(x_k))=m+\Sigma(E(x_k)))
;
- Ensuite tu m'as dit de montrer : pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m\in\{0,n-1\})
, il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
réels
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(\Sigma(x_k))=m+\Sigma(E(x_k)))
;
- Puis après tu m'as parlé de deux ensemble
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A_n)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?B_n)
;
- Et là tu me donnes une indication.
Que dois-je faire ?
Je commence à oublier ce qu'on recherche... :mur:
Oublie pour le moment l'ensemble
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(=B_n))
( j'ai parlé de ça suite à une question à toi.)
Concentre toi sur
Dinozzo13 a écrit:montrer : pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m\in\{0,n-1\})
, il existe
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
réels
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k)
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(\Sigma(x_k))=m+\Sigma(E(x_k)))
;
et essaye en suivant l'indication
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 16:32
mais on montre la propriété dans l'autre sens quoi ?
MOHAMED_AIT_LH a écrit:indication : Utilise les
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k=\frac{k}{m+1})
pour des valeurs de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
convenables et prends
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k =0)
pour celles qui restent ....
En prenant des valeurs particulières de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k)
, ne s'écartons-nous pas du cas général ?
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k\in\mathbb{N}^*_{n})
Si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k<m+1)
alors
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(x_k)=0)
Et après j'aurai envie d'utiliser la division euclidienne mais je ne suis pas sûr :triste:
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 31 Mai 2012, 16:47
mais on montre la propriété dans l'autre sens quoi ?
MOHAMED_AIT_LH a écrit:indication : Utilise les
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k=\frac{k}{m+1})
pour des valeurs de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
convenables et prends
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k =0)
pour celles qui restent ....
En prenant des valeurs particulières de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_k)
, ne s'écartons-nous pas du cas général ?
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k\in\mathbb{N}^*_{n})
Si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k<m+1)
alors
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E(x_k)=0)
Et après j'aurai envie d'utiliser la division euclidienne de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k)
par
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m+1)
mais je ne suis pas sûr :triste:
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