[Arithmétique] rechercher 2 nombres...

[Boss_maths]

Bonjour,

Si j'ai besoin de votre aide pour vérifier le 1er exercice, c'est surtout pour m'indiquer une piste à suivre avec le 2ème :mur:

I) Déterminer deux nombres et sachant que leur différence est 8, et que si on augmente ces deux nombres de 2 leur produit augmente de 72.

Je deduis de cet énoncé les relations suivantes :


Pour calculer , j'élimine et j'obtiens :

Pour finir, je calcule en remplaçant par sa valeur dans la différence :
, les deux nombres recherchés sont : et ?
[CENTER]________________[/CENTER]
II) Une suite récurrente est définie par :
, et
1°) Donner les 20 premiers termes de cette suite.
2°) Démontrer que
3°) Démontrer que le carré d'un terme de cette suite, à partir de , est égal au produit des termes qui l'encadrent augmenté ou diminué de 1; c'est à dire que :



1°) je donne ici la liste des 20 premiers termes :


2°) C'est maintenant que j'ai besoin d'une piste...

Merci par avance pour vos réponses,
@+ :lol3:

[vienouvelle]

Bonjour,

Si j'ai besoin de votre aide pour vérifier le 1er exercice, c'est surtout pour m'indiquer une piste à suivre avec le 2ème :mur:

I) Déterminer deux nombres et sachant que leur différence est 8, et que si on augmente ces deux nombres de 2 leur produit augmente de 72.

Je deduis de cet énoncé les relations suivantes :


Pour calculer , j'élimine et j'obtiens :

Pour finir, je calcule en remplaçant par sa valeur dans la différence :
, les deux nombres recherchés sont : et ?
[CENTER]________________[/CENTER]
II) Une suite récurrente est définie par :
, et
1°) Donner les 20 premiers termes de cette suite.
2°) Démontrer que
3°) Démontrer que le carré d'un terme de cette suite, à partir de , est égal au produit des termes qui l'encadrent augmenté de 1; c'est à dire que :



1°) je donne ici la liste des 20 premiers termes :


2°) C'est maintenant que j'ai besoin d'une piste...

Merci par avance pour vos réponses,
@+ :lol3:

Salut, j'ai tenté de vérifier (A et B sont corrects).

Pour la deuxième sous question:
je pense qu'il faut faire une somme membre à membre











.....




en faisant l'addition membre à membre et en observant les deux membres, tu remarques que le premier élément du membre de droite est le meme que le membre de gauche de la ligne précédente, donc tu peux les barrer tous les deux...
D'où à la fin il te restera le second élément du membre de droite, avec le 0 et le 1, et à gauche tu n'auras plus que . Bien sûr à gauche tu as encore , mais vu qu'il vaut zéro, tu peux l'enlever.

A toi (et aux autres) de voir si j'ai fait une erreur ou pas (mais ça me semble logique)

[Elerinna]

I) à partir du système reliant et , calculer et ferait aboutir immédiatement au but.
II) 1°) OK
2°) la récurrence suffit et avec 3°) x et x

[Boss_maths]

@vienouvelle : c'est astucieux et, finalement, assez facile à voir.

II) 1°) OK
2°) la récurrence suffit et avec 3°) x et x

2°) Je n'arrive pas à démontrer par récurrence la relation, si ce n'est que l'initialisation :wrong:
3°) Ok, j'ai vérifié avec 2 valeurs, mais je ne sais pas si ces deux relations se démontrent aussi par récurrence, ou bien est-ce le résultat d'une propriété plus générale sur les suites ?
Bref, je patauge !
Merci et @+

[vienouvelle]

@vienouvelle : c'est astucieux et, finalement, assez facile à voir.

2°) Je n'arrive pas à démontrer par récurrence la relation, si ce n'est que l'initialisation :wrong:
3°) Ok, j'ai vérifié avec 2 valeurs, mais je ne sais pas si ces deux relations se démontrent aussi par récurrence, ou bien est-ce le résultat d'une propriété plus générale sur les suites ?
Bref, je patauge !
Merci et @+

Salut Boss

T'as essayé de voir si ce que j'ai écrit plus haut est correcte? (démonstration du 2°)

[Boss_maths]

Salut Boss

T'as essayé de voir si ce que j'ai écrit plus haut est correcte? (démonstration du 2°)

Oui, merci !


. . . . . . .
. . . . . . .


On fait la somme membre à membre comme ceci :



Pour s'apercevoir, après simplification et comme tu l'as écrit, que le membre de gauche ne contient plus que le terme et le membre de droite, qui contenait tous les termes en double, sauf , s'organise comme une somme où chaque terme n'apparait qu'une seule fois :

CQFD !

Ok, mais j'aurais voulu connaître la démonstration par la récurrence et, pour la 3ème question, le pourquoi du comment des relations indiquées par Elerinna ?

Merci par avance pour vos réponses,
@+

[globule rouge]

Bonjour Boss des maths

On veut montrer que

Il nous faut donc d'abord vérifier que c'est vrai au rang
On sait que
Or si on considère la proposition.
est donc vérifiée.

Maintenant, supposons que pour un certain , nous avons .
Montrons qu'au rang supérieur, nous avons

Or on sait que
Aussi, si on applique l'hypothèse, nous obtenons : , CQFD.

L'hérédité est vérifiée donc notre proposition est une propriété vraie pour tout n de N.

Julie

[Boss_maths]

Bonjour Boss des maths
On veut montrer que

Il nous faut donc d'abord vérifier que c'est vrai au rang
On sait que
Or si on considère la proposition.
est donc vérifiée.
Maintenant, supposons que pour un certain , nous avons .
Montrons qu'au rang supérieur, nous avons
Or on sait que
Aussi, si on applique l'hypothèse, nous obtenons : , CQFD.
L'hérédité est vérifiée donc notre proposition est une propriété vraie pour tout n de N.

Merci c'est très simple.
Cf la 3ème question, je ne sais toujours pas comment (re)trouver les relations mentionnées plus haut :triste:
Je pense que c'est plus "corsé" que pour la 2ème ?

@+ SVP

[Elerinna]

Merci c'est très simple.
Cf la 3ème question, je ne sais toujours pas comment (re)trouver les relations mentionnées plus haut :triste:
Je pense que c'est plus "corsé" que pour la 2ème ?

@+ SVP

En fait, la récurrence s'applique comme avant sur les rangs pairs et impair en envisageant les deux propositions
x et x, d'abord pour puis tout

[Boss_maths]

En fait, la récurrence s'applique comme avant sur les rangs pairs et impair en envisageant les deux propositions
x et x, d'abord pour puis tout

Merci pour ta réponse, mais je n'arrive qu'a initialiser (n=2 et n=3), après impossible de voir la suite de la récurrence. En fait, c'est la démarche logique que j'ai du mal à saisir et je sèche grave !

Langue au chat STP
Merci et @+ :lol3: