Important !!!

[hisuka]

exo 1 :
soit f : IR------->IR une fonction continue satisfaisant f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous x,y € IR .soit x € IR un réel arbitraire .
1.Montrer que f(ax)=af(x) pour tout a € IR et conclure ?
2.Donner alors la forme de f(x) pour tout x € IR

exo2 :
soient E,F,G des espaces vectoriels sur IK et soient f: E---->F et g: F------->G des applications linéaires .
1.Montrer que Im(gof) est inclu dans Im(g) et ker(f) est inclu kerf(gof).
2.En déduire que si f est endomorphisme de E .alors la suite (Im(f^k) "indice k" est décroissante et la suite (ker(f^k)"indice k" est croissante (pour l'inclusion )

[hisuka]

Merci, n'hésitez pas à me demander des explications supplémentaires...

[Olympus]

Salut !

Pour le premier, tu peux t'en sortir avec un argument de densité. Pour dans ça marche ( récurrence ). Ensuite dans y a pas de problèmes ( remarquer que si alors et appliquer ce qui précède ). Dans aussi y a pas de soucis. Et enfin tu conclus avec la densité de dans . Et ensuite pour la deuxième question, appliquer ce qui précède pour quelconque et pour , que remarques-tu ? Qu'en est-il de la réciproque ?

Pour le deuxième, généralement pour montrer une inclusion , on prend un élément de ( qu'on suppose non vide, car sinon l'inclusion est triviale ) et on regarde s'il est dans . Comment traduirais-tu ?

Note de modération : éviter les titres hors-charte. D'ailleurs c'est même écrit en rouge dans le formulaire d'envoi : "Pas de "Urgent", de "Vite" , de "Aidez moi", "DM pour demain",...".

[alm]

Salut;
Si on veut éviter l'utilisation de la densité, on peut faire l'exercice 1 en utilisant le concept de primitive d'une fonction continue sur un intervalle de .


Soit une telle application et une primitive de sur
1) Prouver que :
2) En déduire que est derivable sur chacun des intervalles et
3) Conclure (on pourra prouver ar exemple que la fonction est constante sur tout intervalle de et . )