Endomorphisme

[Dinozzo13]

Bonjour, je bloque sur un exo d'algèbre :

est un espace vectoriel de dimension non nulle ;
est l'application identique de ;
est l'ensemble des endomorphismes de ;
;
est un endomorphisme de tel que .

On me demande de déterminer un endomorphisme tel que .

Donc

équivaut à .

Donc je trouve ou et donc ca me paraît suspect.

Merci d'avance votre aide :+++:

[alm]

Bonjour

Le problème c'est que je trouve ou et donc ca me paraît suspect.

Oui, c'est suspect
En effet , comme tu n'as rien dit à propos du corps de base on comprends que tu travailles dans des espaces vectoriels réels. Les coefficients que tu vas donner doivent en conséquence être réels.
Tu peux aussi remarquer que les réponses e - sont valables sans la moindre hypothèse sur f à condition qu'on travaille dans des espaces vectoriels complexes, ce qui n'est pas le cas ici (probablement).

Comme indication essaye d'utiliser la forme canonique du trinôme :
à savoir :

[alm]

Donc

équivaut à .

Attention ! pourquoi 'équivant à ....'

Observe bien la famille : elle n'est pas libre !

[Dinozzo13]

Attention ! pourquoi 'équivant à ....'

Observe bien la famille : elle n'est pas libre !

Ah oui car il existe un triplet non nul : tel que .

Et alors, qu'est-ce que cela implique ?

Attention ! pourquoi 'équivant à ....'

Donc du coup, il y aurait un "implique" ou même pas ?

[alm]

Donc du coup, il y aurait un "implique" ou même pas ?

même pas!!!

puisqu'il y a des pointillés , ce n'est pas l'équivalence en elle même que je suspecte mais tout ( d'ailleurs l'autre implication est toujours vraie : si des coefficients sont nuls toute combinaison linéaire les utilisant est nulle)

Alors passe à la bonne réponse en utilisant l'indication et n'oublie pas que

[Dinozzo13]

Donc ma justification de la liberté de est-elle correcte ?
Si non, comment le justifierais-tu ? Parce que là je ne verrais pas.

[alm]

Donc ma justification de la liberté de est-elle correcte ?
Si non, comment le justifierais-tu ? Parce que là je ne verrais pas.

Oui, Dinozzo13, ta justification pour l NON liberté de f est correcte (corrige NON liberté et pas liberté)

[Dinozzo13]

ok. Mais là tu me rend un peu confus.
est libre ou non ?

Et donc du coup, comment trouver ?

[newman]

ok. Mais là tu me rend un peu confus.
est libre ou non ?

Et donc du coup, comment trouver ?

Elle ne peut pas être libre puisque d'après l'énoncé il existe un triplet (1,a,1) différent de (0,0,0) tel que 1*f² + a *f + 1 =0

[alm]

ok. Mais là tu me rend un peu confus.

J'ai essayé de corriger ton erreur lorsque tu as déduit que les coefficients étaient nuls alors que la famille (I,f,f^2) n'est pas libre d'après les données du problème (tu l'as dit toi même : les coefficients ne sont pas tous nuls)

est libre ou non ?
?

Non , elle n'est pas libre: newman confirme et toi aussi : et

Et donc du coup, comment trouver ?

Je t'ai donné déjà une indication :

veut dire

c'est à dire :

[Dinozzo13]

Ah c'est bon, j'ai trouvé et là, 'y a pas de complexe :++:

Toutefois, une question réside.
En quoi le fait que ne soit pas libre ?

[alm]

Ah c'est bon, j'ai trouvé et là, 'y a pas de complexe :++:

Toutefois, une question réside.
En quoi le fait que ne soit pas libre ?

parce que donc

Par exemple, déjà, le rang de la famille est inférieur ou égal à

[Dinozzo13]

ah ok, c'est bon, j'ai compris :+++: