Defi : applications lineaire

[hisuka]

exo1:

montrer qu'il existe une application linéaire unique f : C^2------>C^3 telle que f(1,i)=(0,3,2) et f(1+i,-1)=(1,0,4). déterminer alors f(x,y) pour tout (x,y) appartient a C^2 .

exo2:

soient f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel E sur IR .
1.développer (3f+g)o(f-2g), (f+g)o(f-g) et (2f+3g)^2
2.que deviennent ces résultats lorsque f et g commutent ?
3. mêmes questions pour les matrices .comparer .

[Dinozzo13]

Salut !

Ca m'intéresserais de savoir comment montrer que f est unique :++:

[Skullkid]

Et qu'as-tu essayé, hisuka ?

[chan79]

exo1:

montrer qu'il existe une application linéaire unique f : C^2------>C^3 telle que f(1,i)=(0,3,2) et f(1+i,-1)=(1,0,4). déterminer alors f(x,y) pour tout (x,y) appartient a C^2 .

exo2:

soient f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel E sur IR .
1.développer (3f+g)o(f-2g), (f+g)o(f-g) et (2f+3g)^2
2.que deviennent ces résultats lorsque f et g commutent ?
3. mêmes questions pour les matrices .comparer .

salut
connaissant f(1,i) tu peux calculer f(i,-1)
ensuite tu peux calculer f(1,0) puis f(0,1)

[leon1789]

exo1:

montrer qu'il existe une application linéaire (...)

application R-linéaire ou C-linéaire ? Dans un cas, il y a unicité de l'application, mais pas dans l'autre. :lol3:

[alm]

Tu peux aussi remarquer que la famille est une base de tu prends un élémnet alors exprime dans la base c'est-à-dire cherche, en fonction de et , l'unique tel que et tu as tout pour donner l'expression de en fonction de et

[Judoboy]

A priori le corps de base c'est C ici.

[alm]

application R-linéaire ou C-linéaire ? Dans un cas, il y a unicité de l'application, mais pas dans l'autre. :lol3:

C'est vrai Leon ce que tu dis, mais la nature de l'énoncé est loin de considérer les applications R- linéaire
Je crois qu'il ne considère que des C espaces vectoriels dans tout le premier exo
Malheureusement, les énoncés dans les forums sont souvent comme ça. Je ne sais pas quelle en est la cause, est ce la tarnscription de symboles (un peu non aisée) ou autre chose...

Merci pour ta remarque en tout cas.

[alm]

Salut !

Ca m'intéresserais de savoir comment montrer que f est unique :++:

Salut Dinozzo:

puisque cela t'interesse ça provient du fait que si on a deux espaces vectoriels ( est un corps commutatif quelconque) et et si est une base de et une famille quelconque de vecteurs de (indexée par le même ensemble que celui qui indexe ) alors il existe une et une seule application linéaire de vers tel que pour tout

[leon1789]

C'est vrai Leon ce que tu dis, mais la nature de l'énoncé est loin de considérer les applications R- linéaire
Je crois qu'il ne considère que des C espaces vectoriels dans tout le premier exo
Malheureusement, les énoncés dans les forums sont souvent comme ça. Je ne sais pas quelle en est la cause, est ce la transcription de symboles (un peu non aisée) ou autre chose...

Merci pour ta remarque en tout cas.

Par cette remarque, je voulais attirer l'attention de hisuka sur le fait que la multiplication par les scalaires est importante dans cette histoire.

C'est souvent comme ça dans les énoncés du forum car, je crois (mais je peux me tromper), les demandeurs n'ont pas conscience de l'importance des indices qu'ils oublient.

[leon1789]

Salut Dinozzo:

puisque cela t'interesse ça provient du fait que si on a deux espaces vectoriels ( est un corps commutatif quelconque) et et si est une base de et une famille quelconque de vecteurs de (indexée par le même ensemble que celui qui indexe ) alors il existe une et une seule application linéaire de vers tel que pour tout

oui.
En résumé, pour connaitre une application linéaire sur un espace vectoriel tout entier (l'espace de départ !), > de la connaître sur une base de l'espace vectoriel. La linéarité fait le reste :lol3:
En dimension finie, cela donne naissance aux matrices (modulo la donnée d'une base de l'espace d'arrivée).

[alm]

Par cette remarque, je voulais attirer l'attention de hisuka sur le fait que la multiplication par les scalaires est importante dans cette histoire.

Oui Leon : Quand on considère le départ comme R ev la dimension augment et la famille n'est plus une base
La diversité des solutions provient de la diversité des manières selon lesquelles on peut compléter cette famille en une base .

[alm]

oui.
En dimension finie, cela donne naissance aux matrices

Oui et même en dimension infinie dénombrable , il y'a des matrices mais ayant une infinité d'entrées ...

[leon1789]

Oui et même en dimension infinie dénombrable , il y'a des matrices mais ayant une infinité d'entrées ...

ok, mais en dimension infinie, il y a une contrainte à ne pas oublier (automatiquement vérifiée en dimension finie) : tous les coefficients des colonnes sont nuls sauf un nombre fini.

[alm]

Tout à fait : c'est pour cela que j'avais dit infinité d'entrées et non pas de coefficients. On peut même se ramener aux cas fini car quand on prend un nombre fini de ces matrices on peut se palcer dans l'espace qui correspond à la plus grande des tailles et tout marche bien (espéce de limite inductive d'une suite croissante d'espaces)
Il y a pas mal d'études utilisant ces matrices ...

[chan79]

Tout à fait : c'est pour cela que j'avais dit infinité d'entrées et non pas de coefficients. On peut même se ramener aux cas fini car quand on prend un nombre fini de ces matrices on peut se palcer dans l'espace qui correspond à la plus grande des tailles et tout marche bien (espéce de limite inductive d'une suite croissante d'espaces)
Il y a pas mal d'études utilisant ces matrices ...

Bonjour Mohamed
J'aimerais bien savoir si je fais une erreur dans ce qui suit.(on suppose que le corps de base est C)
f(1,i)=(0,3,2)
donc f(i,-1)=(0,3i,2i)
on sait que f(1+i,-1)=(1,0,4)
à partir des deux dernières égalités f(1,0)=(1,-3i,4-2i)
à partir de la première égalité et de la précédente
f(0,i)=(-1,3+3i,-2+2i)
d'où f(0,1)=(i,3-3i,2+2i)
A partir de f(1,0) et de f(0,1) on a pour tout (x,y) de C²
f(x,y)=(x+yi,-3ix+3y-3iy,4x-2ix+2y+2iy)
Merci

[Dinozzo13]

Salut Dinozzo:

puisque cela t'interesse ça provient du fait que si on a deux espaces vectoriels ( est un corps commutatif quelconque) et et si est une base de et une famille quelconque de vecteurs de (indexée par le même ensemble que celui qui indexe ) alors il existe une et une seule application linéaire de vers tel que pour tout

ok merci :++:

[alm]

Bonjour Mohamed
J'aimerais bien savoir si je fais une erreur dans ce qui suit.(on suppose que le corps de base est C)
f(1,i)=(0,3,2)
donc f(i,-1)=(0,3i,2i)
on sait que f(1+i,-1)=(1,0,4)
à partir des deux dernières égalités f(1,0)=(1,-3i,4-2i)
à partir de la première égalité et de la précédente
f(0,i)=(-1,3+3i,-2+2i)
d'où f(0,1)=(i,3-3i,2+2i)
A partir de f(1,0) et de f(0,1) on a pour tout (x,y) de C²
f(x,y)=(x+yi,-3ix+3y-3iy,4x-2ix+2y+2iy)
Merci

;)Bonjour chan79
Ta méthode m' a plue beaucoup.
je crois que tes calculs sont aussi exacts
Bon courage !
Ce qui m'a plu c'est que tu as assayé de te ramener aux bases canoniques.
===

Si tu veux faire ce travail matricielement, les données de l'exos nous donnent la matrice de cette application lineaire relativement aux bases et
On dispose de la matrice de passage de à
On a donc la matrice de que tu cherches: c'est à dire relativement à et
elle vaut linéaire dans les bases

[chan79]

;);)Bonjour chan79
Ta méthode m' a plue beaucoup.
je crois que tes calculs sont aussi exacts
Bon courage !
Ce qui m'a plu c'est que tu as assayé de te ramener aux bases canoniques.
===

Si tu veux faire ce travail matricielement, les données de l'exos nous donnent la matrice de cette application lineaire relativement aux bases et
On dispose de la matrice de passage de à
On a donc la matrice de que tu cherches: c'est à dire relativement à et
elle vaut linéaire dans les bases

Merci pour ta réponse et ta méthode; c'est bien mieux d'utiliser la base

[hisuka]

Aide :

soient de E et F deux espaces vectoriel sur le corps K et B =(a1,a2,.......an) une base de E .tout famille (b1,b2,......bn) de F , il existe unique f: E----->F application linéaire f(ai)=bi

solution:

a1=(1,i) a2=(1+i,-1) comme B =(a1,a2) est une base de C ^2 {car (a1,a2) est libre et dimC^2=card(B) } le théorème assure que l'existence d'une application linéaire unique f:C^2------>C^3 tel que f(ai)=bi(1<=i<= 2)