Décomposition "spéciale" d'une matrice

[acoustica]

Yop yop !

Bonsoir, j'ai une question sur les matrices : je suis tombé sur un cours avec une matrice comme ça :



Et là oh magie : "on remarque que cette matrice peut s'écrire comme le produit :



"



l'intérêt étant que la première matrice, à savoir celle-ci :



ait chacune des somme de carrés de ses lignes et de ses colonnes égale à 1. C'est très joli, ça marche bien, mais comment trouver une telle décomposition ? J'imagine qu'il existe des méthodes générales...

[wserdx]

Bonsoir,
Je peux me tromper, mais à vue de nez, il semble s'agir d'une matrice orthogonale (associée à une isométrie dans R^3)
matrice orthogonale

[alm]

Salut

mais comment trouver une telle décomposition ? J'imagine qu'il existe des méthodes générales...

Ta question tombe au moment où je rédige un sujet qui commence par ce que tu cherches peut être, à savoir :

Si est une matrice carréé de taille alors si est une matrice diagonale de termes diagonaux : alors le terme général de la matrice est et le terme général de la matrice est

dont une conséquence est si et sont deux matrices diagonales alors le terme général de la matrice est .

J'en ai besoin pour construire une suite de matrices trainagulaires supérieures tel que est semblable à et que la suite tende vers la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont ceux de lorsque l'entier naturel tends vers .
On pose et

[acoustica]

Salut


Ta question tombe au moment où je rédige un sujet qui commence par ce que tu cherches peut être, à savoir :

Si est une matrice carréé de taille alors si est une matrice diagonale de termes diagonaux : alors le terme général de la matrice est et le terme général de la matrice est

dont une conséquence est si et sont deux matrices diagonales alors le terme général de la matrice est .

J'en ai besoin pour construire une suite de matrices trainagulaires supérieures tel que est semblable à et que la suite tende vers la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont ceux de lorsque l'entier naturel tends vers .
On pose et

Coucou !
Là comme ça je dirais que la décomposition de Cholesky peut t'être utile. Je n'en sais rien, je la connais juste de nom, je vais de ce pas essayer de la comprendre. Mais ça te donnera des idées j'espère. =)

[acoustica]

Bonsoir,
Je peux me tromper, mais à vue de nez, il semble s'agir d'une matrice orthogonale (associée à une isométrie dans R^3)
matrice orthogonale

Ok oui en effet... Je vais rédiger la méthode une fois que j'aurai bien compris le doc que je suis en train de lire....

[alm]

Salut

Si tu veux généraliser dans ce sens c'est plutôt proche de la décomposition polaire d'une matrice inversible ...
Une matrice carrée réelle inversible s'écrit de façon unique où est une matrice orthogonlae et une matrice symétrique définie positive.

[alm]

J'avais dit proche de la décomposition polaire car la véritable décomposition polaire est (en supposant bien sûr que ) :


avec et et (ici est la fonction signe: si réel non nul et
tout en remarquant que ce qui fait de une matrice à la fois symétrique et orthogonale (ici bien sûr on a besoin seulement du fait qu'elle soit orthogonale)

[acoustica]

J'avais dit proche de la décomposition polaire car la véritable décomposition polaire est (en supposant bien sûr que ) :


avec et et (ici est la fonction signe: si réel non nul et
tout en remarquant que ce qui fait de une matrice à la fois symétrique et orthogonale (ici bien sûr on a besoin seulement du fait qu'elle soit orthogonale)

Super ! Oui c'est exactement ça alors. =) Merci beaucoup Mohamed. Maintenant il reste à comprendre la méthode de la décomposition, j'aimerais faire une jolie décomposition après, une fois que j'aurai bien tout compris.

Edit : oui bon, j'ai tout le cours à faire avant... un jour je reviendrai sur ce fil.^^ Merci encore !