Polynomes irréductible

[pozor16]

J'aimerais avoir un peu d'aide sur la correction d'un de mes exercices. Soit P=7x^4+8x^3+11^x2-24x-455. Montrer que P est irréductible sur Z[X] en utilisant le mod 2 et mod 3.

Si P=AB, puisque 7 est premier l'un des polynomes A ou B a pour coefficient +/-7 et l'autre +/-1. On en deduit que les réductions modulo 2 et 3 préservent les degré de A et B.

Donc P mod 2 = (x^2+x+1)^2 donc deg(A)=deg(B)=2.

Ensuite P mod 3 = (x-1)(x^3-x-1) donc les degrés sont 1 et 3

Et donc P est irréductibles.

La conclusion, si j'ai bien compris, est que puisqu'il trouve que en modulo 2 le degré des polynomes A et B sont de degré 2 et en modulo 3 ils sont de degré 1 et 3, il y a contradiction. Donc le polynome est irréductible.

Maintenant, je ne vois pas comment il déduit que les réductions modulo 2 et 3 préservent les degrés de A et B. Est ce que c'est un théorème?Est-ce que cela marche seulement pour les modulo 2 et 3 ou aussi pour d'autres?

Merci beaucoup.

[Amine.MASS]

bonjour,

Maintenant, je ne vois pas comment il déduit que les réductions modulo 2 et 3 préservent les degrés de A et B. Est ce que c'est un théorème?Est-ce que cela marche seulement pour les modulo 2 et 3 ou aussi pour d'autres?
Merci beaucoup.

tu as montré que le coefficient dominant des polynomes A et B est soit (+ou-1) ou (+ou-7) qui tout les deux ne congruent pas à 0 mod(n) pour tout n different de (+ou-7) et (+ou-1)
alors les degres de A et B sont conservés mod n pout tout n different de +/-1 et +/-7
(Rq:les degres sont preservés puisque le coeff dominant est non nul)
bon courage.
Cordialement,Amine