Géometrie Analytique Spatiale

par **Poweravs** » 23 Juin 2006, 23:54

Bonsoir
J'aurais deux questions portant sur un problème de géométrie analytique spatiale...Merci de bien vouloir m'éclairer

1)On considère les droites d1 et d2 et le plan pi dans un RO de l'espace

d1: 2x-y=0 ; 3x-z = 0
d2: x=1 ; 2y-z = 0
pi : x-2y+z=0

On vous demande l'équation de la droite perpendiculaire au plan pi ,et qui s'appuie sur d1 et d2

Il est évident que d1 et d2 sont gauches,tout comme l'emploi du vecteur normal de pi (1;-2;1) s'impose...

2)Dans un RO de l'espace,on considère les plans µ et pi,ainsi que la droite d,d'équations respectives

µ : 5x + 5y -3z = 2
pi : 2x -y + z = 6
d: x=z+2 ; y=-z+1

On vous demande de trouver tout les plans alpha ,tels que l'intersection entre µ et alpha et l'intersection entre pi et alpha soient deux droites orthogonales

La encore,j'ai quelques problèmes pour trouver la direction des de la droite µ inclus alpha,et pi inclus alpha

Il est evident que (1,-1,1) est vecteur directeur de alpha.Je me questionne quand à l'expression des differentes directions de la droite intersection entre le plan alpha et µ ,et celle de la droite intersection entre pi et alpha
Je suppose que dès que cette direction ext exprimé,il suffit d'imposer que le produit scalaire de ces deux directions soit égal à 0...

En vous remerciant de vos éventuelles explications et discussions...
Poweravs alias...François :we:

par **jean-émile** » 24 Juin 2006, 06:48

Bonjour

1)

Une idée : déterminer la droite sous forme paramétrique

x = x0 + t
y = y0 - 2t
z = z0 + t

Il faudra calculer x0, y0 et z0

par **Daragon geoffrey** » 24 Juin 2006, 09:37

slt pour la première question, D perpendiculaire au plan pi équv à le vecteur n normal de pi est un vecteur directeur de D, de plus D s'appuie sur d1 et d2 de vecteur directeur respectifs k et l (dont on détermine les coordonnées grâce aux équations données par l'énoncé), je sui pose que cela signifie que D est perpendiculazire à d1 et d2 ! ds ce cas, connaissant les représentations paramtrique de d1 et d2, on les coordoonnées de leur point d'intersection, ce que tu sais normalement faire car la méthode et classique ! @ +

par **Daragon geoffrey** » 24 Juin 2006, 09:45

pour la seconde partie, il fo mathématiser la situation, ainsi µ et alpha (noté al) sécants suivant D1 et pi et al sécants suivant D2 nous permet de définir les 2 droites en question par un système de 2 équations de plan, en posant al qui a pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0 ! ainsi par exemple D1 est définie par le syst 5x+5y-3z-2=0 et ax+by+cz+d=0, et D2 par ... ! de plus D1 et D2 orthogonal équiv à le scalaire de leur vecteur directeur est nul ! tu peux progressivament identifier les conditions à respecter par le plans al sur les coeffs réels a,b,c et d ! @ +

par **Poweravs** » 24 Juin 2006, 11:20

Une idée : déterminer la droite sous forme paramétrique et trouver les points x0,y0 et z0

C'est justement ce que je cherche,Il faut savoir que ce point qui appartien à la droite,est solution du système

x=x0+t
y=y0-2t
z=z0+t

x=1
y=2t
z=t

A l'aide.... :hein: ^^

je sui pose que cela signifie que D est perpendiculaire à d1 et d2 !

Non non,elle ne font que s'appuyer,elle doit être perpendiculaire au plan pi

par **jean-émile** » 24 Juin 2006, 14:57

x0, y0 , z0 sont les coordonnées d'un point (n'importe lequel) de la droite d (la droite que l'on cherche)

on écrit que d et d1 se coupent , ce qui donne une première relation entre x0,y0,z0

on écrit que d et d2 se coupent , ce qui donne une deuxième relation entre x0,y0,z0

etc ...

par **Poweravs** » 25 Juin 2006, 14:38

J'ai trouvé réponse à mon problème...
Pour le 1,il faut utiliser le théorème de la perpendiculaire commune à deux droites gauches

:"Il existe une seule et une seule perpendiculaire commune à deux droites gauches,celle ci est determiné par l'intersection du plan contenant d1 et du plan contenant d2"

D'ou le vecteur directeur de cette droite est bien sur (1,-2,1),qui est donc vecteur directeur des deux plans (vu que cette droite est l'intersection des deux plans)

L'autre vecteur directeur de chaque plan est la droite elle même
On détermine leurs intersections,et la solution est donné...

Comme quoi,les mathématiques peuvent être très simples... :we:

NB:Ces deus questions ont été posés en 2003 dans le cadre de l'examen d'entrée universitaire à la faculté des Sciences Appliqués (Ecole Polytechnique) de l'ULB (Université Libre de Bruxelles en Belgique)
Ecole dans laquelle je compte postuler pour cette année....

par **jean-émile** » 25 Juin 2006, 21:42

Poweravs dit :
"Il existe une seule et une seule perpendiculaire commune à deux droites gauches,celle ci est determiné par l'intersection du plan contenant d1 et du plan contenant d2"

Quest-ce que : "... l'intersection du plan contenant d1 et du plan contenant d2" ?

On ne peut donc pas affirmer à priori sans justification que d est perpendiculaire à d1 et à d2.

On détermine sans trop de calculs les vecteurs directeurs de d, d1 et d2 .
On vérifie que d est bien la perpendiculaire commune

On peut aussi remarquer que d1 est incluse dans pi et que d2 est strictement parallèle à pi

Il faut de toute façon déterminer une équation de d

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