Probabilité

[Matt_01]

Hello,

Voilà un exo tombé à l'X il me semble, qui m'a un peu interpellé :

Soit un entier naturel supérieur à .
On considère un entier non nul inférieur ou égal à .
On note la probabilité que le reste de la division de par soit supérieur ou égal à .
Calculer la limite de .

Bonne chance :happy3:

[leon1789]

Hello,

Voilà un exo tombé à l'X il me semble, qui m'a un peu interpellé :

Soit un entier naturel supérieur à .
On considère un entier non nul inférieur ou égal à .
On note la probabilité que le reste de la division de par soit supérieur ou égal à .
Calculer la limite de .

Bonne chance :happy3:

en fait, pour calculer Pn, il faut faire varier k entre 0 et n

[Matt_01]

Effectivement, ca peut ne pas être clair en lisant mon énoncé (sous réserve que tu voulais dire "entre 1 et n")

[Skullkid]

Salut, je suis pas sûr que ma démo soit parfaitement rigoureuse : (en blanc)

À n et k fixés, la condition "le reste de la division de n par k est supérieur à k/2" se réécrit {n/k} >= 1/2 avec {.} la fonction partie décimale. En utilisant la formule des probas totales, k étant supposé tiré uniformément entre 1 et n, on obtient pn = 1/n * (somme pour k allant de 1 à n des f(n/k)) où f est la fonction 1-périodique qui vaut 0 sur [0,1/2[ et 1 sur [1/2,1[ (f(n/k) vaut 1 si et seulement si le reste de la division de n par k est supérieur à 2k). En posant g(x) = f(1/x) pour x différent de 0 et g(0) = 0, pn égale la somme de Riemann de g entre 0 et 1. Donc quand n tend vers l'infini, pn tend vers l'intégrale de g entre 0 et 1 (c'est là que j'ai peur d'être allé trop vite, vu que g n'est pas continue par morceaux).

g(x) vaut 1 lorsqu'il existe un entier k supérieur ou égal à 1 tel que 1/(k+1) < x <= 1/(k + 1/2), et vaut 0 sinon, donc l'intégrale de g entre 0 et 1 est la somme des 1/(k + 1/2) - 1/(k+1) pour k allant de 1 à l'infini, qu'on peut réécrire en 2*[ (somme de k=1 à l'infini des (-1)^(k-1)/k) - 1/2 ]. On conclut que pn tend vers 2ln2 - 1.

[Doraki]

comme le dit skullkid :
Soit P(n,q) = la probabilité que le quotient de la division de n par k soit q, et que le reste soit plus grand que k/2.
lorsque k varie de 1 à n, q va de n à 1, donc :

P(n) = somme pour 1 sqrt(n))
= sqrt(n)*k)
<= P(k/n <= 1/sqrt(n))
<= 1/sqrt(n) + 1/n
= O(1/sqrt(n))

somme pour 1<=q<=sqrt(n) de P(n,q)
= somme pour 1<=q<=sqrt(n) de P((q+1/2)k<=n<(q+1)k)
= somme pour 1<=q<=sqrt(n) de P(1/(q+1)<k/n<=1/(q+1/2))
= somme pour 1<=q<=sqrt(n) de (1/(q+1/2) - 1/(q+1) + O(1/n))
= 2*(somme pour 1<=q<=sqrt(n) de 1/(2q+1) - 1/(2q+2)) + O(1/sqrt(n))

Donc P(n) = 2*somme pour 1<=q<=sqrt(n) de 1/(2q+1) - 1/(2q+2)) + O(1/sqrt(n)),
et donc tend vers 2*(1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8...) = 2*(ln(2)-1+1/2) = 2ln(2)-1

[Skullkid]

Habile ! Ça évite mes circonlocutions analytiques.

Sinon d'après Wikipédia j'ai pas besoin de l'hypothèse de continuité par morceaux dans ma démo, donc ça dissipe mes incertitudes.

[MMu]

Enoncé pas clair du tout :zen:

[Matt_01]

Joli Doraki :happy3:
J'étais passé par la même approche que toi Skullkid, mais l'intégrale de f(1/x)) j'y croyais pas trop ...
Perso, j'ai écrit la condition pour que {n/k}>=1/2
De là, on en vient à dénombrer les k tels qu'il existe i vérifiant n/(i+1)Ce nombre est exactement, à i fixé, E(n/(i+1/2))-E(n/(i+1))
et donc p_n=1/n somme sur i des E(n/(i+1/2))-E(n/(i+1)) (on peut même prendre i jusque l'infini)

Du coup en considérant f_i(x) = (E(x/(i+1/2))-E(x/(i+1)))/x on a p_n=somme des f_i(n)
Mais cette serie converge uniformément ce qui permet d'intervertir les limites et de tomber sur la somme de Skullkid :happy3:


MMu : on est au moins 3 à l'avoir compris.

[Skullkid]

Le côté pervers de l'exercice est qu'on a plutôt envie que la limite soit 1/2 (j'en avais même trouvé une justification quand j'ai commencé à chercher...) et qu'on peut être tenté de travailler sur pn - 1/2. Et comme à l'oral de l'X on n'a pas d'ordi sous la main pour faire ses conjectures...

[Judoboy]

Euh je crois que j'ai pas compris l'énoncé non plus. On fixe n et Pn c'est la proba que le reste de la division de n par k soit > k/2, en tirant k de manière uniforme entre 1 et n ?

[Skullkid]

Euh je crois que j'ai pas compris l'énoncé non plus. On fixe n et Pn c'est la proba que le reste de la division de n par k soit > k/2, en tirant k de manière uniforme entre 1 et n ?

C'est ce qu'on a tous supposé, oui. C'est le vrai que le "on considère k" de l'énoncé est maladroit, mais je ne crois pas qu'il y ait d'autres façons raisonnables de l'interpréter.