Rayon spectral strictement inférieur à 1

[newman]

Salut, dans une correction d'épreuves il est écrit que, puisque la matrice M a un rayon spectral strictement inférieur à 1, M^n tends vers la matrice nulle en l'infini

Je trouve ce résultat très douteux ...Pourriez-vous m'aiguiller?

Merci

[girdav]

Tu peux utiliser la forme de Jordan.

[MacManus]

Salut,

Oui c'est vrai, et ce sont même des conditions équivalentes.

=> (1ère implication)

Supposons que M^n tend vers 0 (matrice nulle) en l'infini, puisque pour tout u de C^n on a ||M^n u|| <= |||M^n||| ||u|| (avec ||.|| norme matricielle sur C^n et |||.||| sa norme matricielle subordonnée), on a: (M^n u) qui tend vers 0 en l'infini.

Supposons de plus p(M)>=1 (rayon spectral), alors soit v une valeur propre de M telle que p(M)=|v|>=1 et soit x un vecteur propre associé à v (x différent de 0), alors Mx=vx puis M²x=v²x ...
M^n x = v^n x
donc: ||M^n x||=|v|^n ||x|| >= ||x||>0
donc: M^n x ne tend pas vers 0 en l'infini
on obtient donc une contradiction et p(M)<1

<= (2ème implication)

Si p(M)<1 et soit eps>0 tel que p(M)+eps<1, alors il existe une norme matricielle subordonnée telle que ||M||<=p(M)+eps<1 et ||M^n||<=||M||^n qui tend vers 0 en l'infini si ||M||<1, d'où le 1er résultat.

[alm]

Bonjour

alors il existe une norme matricielle subordonnée telle que ||M||<=p(M)+eps

A prouver! et c'est le point crucial de l'affaire.
Une methode est de trigonaliser dans , soit : avec triangulaire supérieure et inversible, et d'utiliser une matrice diagonale variable ( réel variable non nul ) en remarquant que la matrice tends vers une matrice diagonale lorsque tends vers

[MacManus]

Bonjour
A prouver! et c'est le point crucial de l'affaire.

Je suis bien d'accord

[alm]

Je suis bien d'accord

Merci MacManus pour la confirmation , et j'ajoute à l'interessé qu'il aura besoin de prouver que si est une norme de pour laquelle on associé la norme subordonnée (rappel : si alors ) alors si est une isomorphisme de , définie par : est une norme sur et je l'invite à chercher sa norme subordonnée car il aura justement besoin de ce résultat pendant la preuve ci-dessus.

[newman]

ok merci tout le monde je vais travailler tout cela

[cdav]

Salut, dans une correction d'épreuves il est écrit que, puisque la matrice M a un rayon spectral strictement inférieur à 1, M^n tends vers la matrice nulle en l'infini

Je trouve ce résultat très douteux ...Pourriez-vous m'aiguiller?

Merci

en fait rayon <1 equivaut a l'existence d 'une norme matricielle telle que ||M|| < 1
et donc ||M^n|| <= ||M||^n qui tend vers 0


ismath

[newman]

Je trouvais ce résultat douteux car il me semble assez puissant...

[alm]

Je trouvais ce résultat douteux car il me semble assez puissant...

Salu newman:

Si tu n'arrives pas à rédiger la preuve compléte préviens moi.
J'avais l'intention de mettre (sur ma pge pers) un petit article qui rassembe : rayon spectral, quotient de Rayleigh, normes subordonnées , qui est un incontournables pour les spés ...
Je crois que c'est le bon moment de le rédiger.

[newman]

tu peux m'envoyer un lien vers ta page perso? Merci

[newman]

en fait c'est bon j'ai trouvé...

[alm]

en fait c'est bon j'ai trouvé...

Salut
Tant mieux.
Si tu veux consulter l'épreuve de centrale 2005 la prmière partie traite complétement ce sujet.
Pour ma page , je suis entrain de reconstruire une nouvelle version et tu peux déjà la visite www.marocprepa.com .
Je metterai le sujet dans la rubrique 'News' sous rubriques : 'articles de mathématiques'.

PS: Si tu ne trouves pas l'épreuve de centrale (il y'a un corrigé aussi), tu peux chercher dans le site de l'UPS : c'est ici (il suffit de selection l'année 2005 et l'école centrale (section MP)).

[alm]

c'était un doublon (désolé) : prière aux modérateurs de le supprimer, merci.