Rectangle au périmètre maximum ( exercice de dérivée)

[abscisse]

Bonjour, j'ai un exercice de dérivée à faire mais le problème est que je ne comprends même pas l'exercice...

Voici l'énoncé:

" On considère une circonférence de rayon r et sa tangente au point M. En menant une corde parallèle à cette tangente, on construit un rectangle ABCD. Parmi la famille des rectangles qu'on peut ainsi définir, quel est celui qui possèdera le périmètre maximum?"

Si quelqu'un pourrait m'aider :we:

Merci :)

[Dinozzo13]

Salut !

Qu'as-tu d'ores et déjà fait ?
Des idées ?

[abscisse]

Bah j'ai tracé mon cercle, j'ai déterminé un point M dessus et j'ai tracé une tangente à ce cercle pour me représenter la situation.

Après j'ai tracé ma parallèle mais je ne vois aucun rectangle... je crois qu'il y a une erreur dans la compréhension de l'énoncé...

[Dinozzo13]

Sais-tu ce qu'est une corde sur un cercle ?
Si non, je t'encourage à aller voir sur google :++:

[abscisse]

Non, je ne savais pas, je croyais qu'il s'agissait d'une simple parallèle...

Sinon, en gros je dois trouver la plus grande corde parallèle à la tangente pour déterminer le plus grand rectangle?

[Dinozzo13]

Parmi la famille des rectangles qu'on peut ainsi définir, quel est celui qui possèdera le périmètre maximum?"

Si tu fais varier la longueur de la corde, la largeur du rectangle varie aussi.

Peux-tu exprimer l'aire du rectangle formé ?

[abscisse]

Bah, si on considère les points A et B comme étant les points de contact de la corde avec le cercle,C et D respectivement projections orthogonales de ces points sur la tangente et

a= [AC]
b= [AD]
===>a=b
et c= longueur de la corde

On peut alors dire que la périmètre du rectangle serait de:

2(a+c)=2(b+c)

C'est bien ce que tu attendais?

[chan79]

Bah, si on considère les points A et B comme étant les points de contact de la corde avec le cercle,C et D respectivement projections orthogonales de ces points sur la tangente et

a= [AC]
b= [AD]
===>a=b
et c= longueur de la corde

On peut alors dire que la périmètre du rectangle serait de:

2(a+c)=2(b+c)

C'est bien ce que tu attendais?

[img][IMG]http://img194.imageshack.us/img194/439/15859695.png[/img][/IMG]
On cherche la position de E
pose x=OE
Exprime la largeur, la longueur et le périmètre en fonction de x et r
Il faut ensuite dériver

[abscisse]

Bah en posant x= [OE] et r= rayon j'ai :

largeur=

Le triangle BEO étant rectangle je peux affirmer que:

r²= [BE]²+x²
[BE]=

La longueur étant égale à 2 [BE]:

longueur=

et le périmètre =

Est-ce correct?

[chan79]

Bah en posant x= [OE] et r= rayon j'ai :

largeur=

Le triangle BEO étant rectangle je peux affirmer que:

r²= [BE]²+x²
[BE]=

La longueur étant égale à 2 [BE]:

longueur=

et le périmètre =

Est-ce correct?

oui, c'est bon

[abscisse]

J'ai comme dérivée:



Après je trouve un maximum en

Donc pour avoir un périmètre maximum j'ai:

-

-

Vous pouvez vérifier svp??

[chan79]

J'ai comme dérivée:



Après je trouve un maximum en

Donc pour avoir un périmètre maximum j'ai:

-

-

Vous pouvez vérifier svp??

c'est bien ça

[abscisse]

Mais si le point E se trouvait de l'autre coté du point O, la largeur ne serait-elle pas égale à : "r-x" , ce qui changerait tous les calculs??

[chan79]

Mais si le point E se trouvait de l'autre coté du point O, la largeur ne serait-elle pas égale à : "r-x" , ce qui changerait tous les calculs??

oui, il faut faire le calcul, qui est du même genre et tu verras que le périmètre est plus petit

[hammana]

oui, il faut faire le calcul, qui est du même genre et tu verras que le périmètre est plus petit

voici une approche géométrique du problème:
Un petit déplacement de B sur le cercle a une composante horizontale dx et une composante verticale dy. le demi périmètre augmente de 2dy et diminue de dx. Il est maximum lorsque 2dy=dx, la pente de la tangente en B est alors 1/2, EB=2OE , le calcul de x devient immédiat. Si cette approche devait amener la confusion dans votre esprit, laissez la tomber.

[chan79]

voici une approche géométrique du problème:
Un petit déplacement de B sur le cercle a une composante horizontale dx et une composante verticale dy. le demi périmètre augmente de 2dy et diminue de dx. Il est maximum lorsque 2dy=dx, la pente de la tangente en B est alors 1/2, EB=2OE , le calcul de x devient immédiat. Si cette approche devait amener la confusion dans votre esprit, laissez la tomber.

[img][IMG]http://img338.imageshack.us/img338/8575/96313464.png[/img][/IMG]
Oui, si on choisit comme variable , on trouve que le périmètre maximum est obtenu pour tan =2, ce qui donne une construction simple pour le résultat

[abscisse]

[img][IMG]http://img338.imageshack.us/img338/8575/96313464.png[/img][/IMG]
Oui, si on choisit comme variable , on trouve que le périmètre maximum est obtenu pour tan =2, ce qui donne une construction simple pour le résultat

Perso, je trouve ça SUPER compliqué...

Je peux bien faire un calcul du même genre pour: largeur= r-x ??

[chan79]

Je peux bien faire un calcul du même genre pour: largeur= r-x ??

Pas de soucis, tu peux faire comme ça