[MPSI] Binôme de Newton

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Euler07
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[MPSI] Binôme de Newton

par Euler07 » 20 Mai 2012, 15:32

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre l'autre manière pour démontrer la formule du binôme de Newton. Pas celle de la récurrence mais avec un raisonnement particulier.

(x+y)^n = (x+y)(x+y) . . . (x+y) (n fois)

:livre:



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par fatal_error » 20 Mai 2012, 15:46

salut,

jsais pas si c'est très académique, mais on peut voir les choses ainsi:
on peut considérer (x+y) comme un noeud dans un graphe.
Ensuite, on a le branchement suivant x ou bien suivant y (pour arriver au facteur suivant : (x+y)

Du coup, si tu regardes (pour x) le terme de degré n, t'es obligé de prendre que les branchements sur x et t'as qu'une seule possibilité.

Si tu regardes le degré n-1, ca veut dire que ya une fois tu prendre le branchement sur y (et t'as une possibilité parmi n)
si tu regardes le degré n-2, tu prends deux branchements sur y parmi n
etc...
au final tu prends tous les degrés pour x et tu retrouves le binome
la vie est une fête :)

Euler07
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par Euler07 » 20 Mai 2012, 16:02

La seule chose que j'ai compris c'est que quand je veux par exemple former x^3 j'ai le choix parmi n facteur pour le former, mais ton exemple avec le graphe :triste:

:livre:

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par fatal_error » 20 Mai 2012, 16:10

t'as un départ D et une arrivée S
D |x|_|_|_|y|y|_|_|_|_|_|x| S

dans chacune des cases, tas le choix entre x ou y.

Si tu as x^3, ca veut dire qu'il faut que tu places 3x parmi les n cases (le reste sera des y)
(c'est la même chose que dire placer (n-3)y)
la vie est une fête :)

Euler07
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par Euler07 » 20 Mai 2012, 17:15

Merci Fatal_Error j'ai pris du temps à comprendre mais c'est bon :)

:livre:

 

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