Modèle de Black & scholes

[bsangoku]

Bonjour,

On considère un actif risqué S obéissant la dynamique suivante
dSt= St(mu*dt+ sigma*dBt)
où mu et sigma sont des constantes positives strictes

Après avoir écrit la formulte d'Itô pour une fonction du type f(t, St) (ce que j'ai réussi à faire), on me demande de montrer la valeur terminale de S (ie S(T)) suit une loi log normale.
Pouvez vous me donner un petit coup de pouce? (à vrai dire je ne sais pas par où commencer)

Merci d'avance

[Elerinna]

Bonjour,

On considère un actif risqué S obéissant la dynamique suivante
dSt= St(mu*dt+ sigma*dBt)
où mu et sigma sont des constantes positives strictes

Après avoir écrit la formulte d'Itô pour une fonction du type f(t, St) (ce que j'ai réussi à faire), on me demande de montrer la valeur terminale de S (ie S(T)) suit une loi log normale.
Pouvez vous me donner un petit coup de pouce? (à vrai dire je ne sais pas par où commencer)

Merci d'avance

L'EDS de Black Scholes régit le mouvement brownien géométrique (MBG) modélisant le cours de la bourse.

En posant on obtient grâce au lemme d'Itô :

De l'éq. de la dérivée du mouvement, on déduit que ce MBG est log-normalement distribué car .

Le cours de l'action n'est jamais négatif au vu de la résponsabilité limitée de l'actionnaire.

D'où :. Ainsi est log-normal et la sol. .