Explication étape d'un théorème

[ClaireA]

Théorème: Toute fonction dérivable en a est continue en a.

Démonstration :

1) Prenons f dérivable en a, c'est à dire
limite de x -> a : f(x) - f(a) / (x-a) = f ' (a)

2) Prouvons que f est continue en a, c'est à dire,
limite de x -> a : f(x) = f(a)

3) Or, f(x) = (f(x)-f(a)/ (x-a))*(x-a)+f(a)

4) D'où lim x->a de f(x) = f ' (a) * 0 + f(a) = f(a)

Je ne comprends pas le point 3 ( d'où vient le *(x-a) + f(a) ?) ni le point 4 où on multiplie par 0 ...
Merci à celui qui saurait m'expliquer :)

[Cryptocatron-11]

f(x) = (f(x)-f(a)/ (x-a))*(x-a)+f(a)

Tu peux traduire ça en f(x) = f ' (a) * (x-a) + f(a).

f'(a) c'est le coefficient directeur de ta tangente. C'est un taux de variation qui comme tu l'as écrit en 1) , f ' ( a ) = (f(x)-f(a)/ (x-a))
Tu connais pas l'analogie physique avec la distance la vitesse et le temps ?

Je ne comprends pas le point 4 où on multiplie par 0 ...
Merci à celui qui saurait m'expliquer

lim (x-a) losque x tend vers a , ça fait combien ?

[ClaireA]

Aaaaah ok , compris maintenant ! Merci beaucoup, j'avais pas fait le rapprochement mais effectivement on explique l'analogie physique temps au début du cours :)

[SimonB]

Tu peux traduire ça en f(x) = f ' (a) * (x-a) + f(a).

Pas vraiment... La limite de quand tend vers , oui, c'est . Mais l'identité que ClaireA écrit est vraie pour tout (différent de , sinon l'expression à droite de l'égalité qu'elle a écrite en 1) n'a pas de sens).


Pour une aide plus juste : ClaireA, si tu effectues un calcul sur le membre de droite de ton point 3), des simplifications s'opèrent. Regarde bien : la première partie de ce membre, c'est . Tu ne vois pas une façon plus simple d'écrire ce terme ?

Pour le point 4, il s'agit de calculer la limite de quand tend vers , en se servant de l'expression de (apparemment fort compliquée) que tu viens de trouver au point 3). Regarde bien vers quoi tendent tous les termes à droite. Le résultat, et l'égalité que tu as écrite, s'ensuivent.

[Cryptocatron-11]

Pas vraiment... La limite de quand tend vers , oui, c'est . Mais l'identité que ClaireA écrit est vraie pour tout (différent de , sinon l'expression à droite de l'égalité qu'elle a écrite en 1) n'a pas de sens).

Ouais sauf que j'ai jamais dit que f ' (a) était une limite . j'ai réécrit texto que f ' (a) = (f(x)-f(a)/ (x-a)). J'avais pas envie d'écrire (f ' (a))(x) = (f(x)-f(a)/ (x-a)) ça fait trop lourd puis c'était pas le but.
Et comme mon f'(a) ne voulait pas dire la même chose que celui 1) ça prête à confusion et ça dit un truc faux dans l'egalité du 1) je le conçois.

Je voulais pas introduire les limites dans un premier temps. Je voulais simplement dire que f ' ( a ) était un taux de variation et que plus on faisait tendre x vers a jusqu'à la limite et bah on avait l'égalité de 1) c'est tout. Et aussi je voulais lui faire l'analogie avec la vitesse instantanée qui permet de mieux sentir le truc.

Après si tu veux mettre la charrue avant les boeufs et faire du truc abstrait et purement formel vas y.

[SimonB]

Ouais sauf que j'ai jamais dit que f ' (a) était une limite .

... dommage, c'est le cas et c'est sa définition...

j'ai réécrit texto que f ' (a) = (f(x)-f(a)/ (x-a)).

Oui, mais ça n'a aucune chance d'être vrai pour un certain x, ça. (Précisément : je peux te trouver autant de fonctions dérivables que tu veux et de points a tels que pour aucun x, on ait l'égalité que tu demandes.)

J'avais pas envie d'écrire (f ' (a))(x) = (f(x)-f(a)/ (x-a)) ça fait trop lourd puis c'était pas le but.

Ce que tu dis n'a plus aucun sens. f'(a) n'est pas une fonction mais un nombre. (f'(a))(x) ne veut rien dire (ou alors, la multiplication des deux nombres, mais ça n'a aucune chance d'être égal à ce que tu écris dans le terme de droite).

Mon but n'est absolument pas de faire un truc "abstrait et purement formel" ; l'interprétation de ce qu'est un nombre dérivé est fondamentale. Cependant, puisqu'on lui propose une démonstration du théorème "toute fonction dérivable est continue" et que ClaireA a du mal avec la démonstration, je lui propose d'examiner précisément ce qui lui manque dans la démonstration, ce que d'ailleurs elle demande. Au contraire, tu lui écris des choses fausses (ou pires, sans sens) sous prétexte d'intuition : cela ne peut que la troubler. En mathématiques, il est fondamental de savoir de quoi on parle et ce qu'on manipule.

[Cryptocatron-11]

Tu le fais exprès de pas me lire ? Je t'ai dit que le f ' ( a ) qu'elle a écrit en 1) c'est pas le même f ' ( a ) que j'ai utilisé ! elles ont pas le même sens justement.

mon f ' ( a ) n'as rien avoir avec celui du 1) et tu peux lui donner le nom de taux de variation (qui dépend de x) si ça te chante

[SimonB]

C'est bien ce que je dis : tu ne peux que l'embrouiller en utilisant des notations horriblement non standard (tous les mathématiciens, dont son ou ses professeur(s), désignent par f'(a) le nombre dérivé de f en a).

[Cryptocatron-11]

C'est bien ce que je dis : tu ne peux que l'embrouiller en utilisant des notations horriblement non standard (tous les mathématiciens, dont son ou ses professeur(s), désignent par f'(a) le nombre dérivé de f en a).

Ouais mais ne dis pas que c'est faux car ici y'a pas que moi qui utilise des notations lourdes.

[SimonB]

"Faux" n'aurait pas grand sens dans ce contexte, effectivement ; cela dit, si tu veux dire que f'(a) désigne pour toi une fonction, pourquoi ne pas le dire dès le début. Le problème fondamental, c'est que dans la mesure où elle mentionne une démonstration où il est explicitement fait référence à quelque chose qui s'appelle "f'(a)" qui n'est pas la même chose que le tien, ça confuse absolument tout. Donc, "faux", non ; "dénué de sens", oui.

[Cryptocatron-11]

cela dit, si tu veux dire que f'(a) désigne pour toi une fonction, pourquoi ne pas le dire dès le début.

C'est ça ! Et lim quand x->a de (f ' (a) )(x) = f ' ( a ) . Mais je reconnais que c'est surchargé et d'ailleurs je l'ai redit dans mon ancien post. Mais bon , j'ai un prof qui n'arrête pas d'utiliser la même notation pour deux trucs différents encore 10 fois pire qu'ici.

tu lui écris des choses fausses (ou pires, sans sens) sous prétexte d'intuition

"Faux" n'aurait pas grand sens dans ce contexte, effectivement

Tu te contredis

[Cryptocatron-11]

Et aussi , une dernière chose. Je trouve dommage de commencer à parler de limite si on ne sait ni ce qu'est un taux de variation, ni l'équation d'une droite, ni l'analogie intuitive. Du coup , le gars il fait des maths mais il ne sait pas où il va.

[SimonB]

Et aussi , une dernière chose. Je trouve dommage de commencer à parler de limite si on ne sait ni ce qu'est un taux de variation, ni l'équation d'une droite, ni l'analogie intuitive. Du coup , le gars il fait des maths mais il ne sait pas où il va.

Rien ne te dit qu'elle ne le sait pas. Et en l'occurrence, je me répète mais ce qu'elle demandait était une aide dans la démonstration, pas une explication intuitive (que j'espère son professeur lui a donné).
Et oui je me "contredis" ; je dirais plus que j'essaye désespérément de comprendre ce que tu écris, avant d'admettre que ce n'est pas faux mais PIRE, comme je le disais depuis le début, dénué de sens.

[fatal_error]

Ouais mais ne dis pas que c'est faux car ici y'a pas que moi qui utilise des notations lourdes.

c'est faux.

L'énoncé définit f'(a) par
f ' (a) = limite de x -> a : f(x) - f(a) / (x-a)

[Cryptocatron-11]

Bon très bien LOL , vous avez gagné , je met TV(x) = f(x)-f(a)/ (x-a). TV pour Taux de Variation. Et ça c'est valable pour tout x. et lim TV(x) quand x tend vers a = f ' ( a ) , c'est faux aussi vous allez me dire ? Tout ça juste parce que j'avais mis le même nom que f ' ( a ) , il vous en faut peu pour titiller :lol3: .

Rien ne te dit qu'elle ne le sait pas

Ben ça par exemple :

Je ne comprends pas le point 3 ( d'où vient le *(x-a) + f(a) ?) ni le point 4 où on multiplie par 0 ...

[SimonB]

Bon très bien LOL , vous avez gagné , je met TV(x) = f(x)-f(a)/ (x-a). TV pour Taux de Variation. Et ça c'est valable pour tout x. et lim TV(x) quand x tend vers a = f ' ( a ) , c'est faux aussi vous allez me dire ? Tout ça juste parce que j'avais mis le même nom que f ' ( a ) , il vous en faut peu pour titiller :lol3: .

Les noms, c'est important... Donner deux noms à des choses différentes, pour le néophyte, c'est la pire chose possible.

Ben ça par exemple : [cut]

Ben ça pour moi, c'est juste des problèmes de logique de base et de manipulation des expressions, pas du tout de compréhension profonde du truc.

[chan79]

Les noms, c'est important... Donner deux noms à des choses différentes, pour le néophyte, c'est la pire chose possible.




Ben ça pour moi, c'est juste des problèmes de logique de base et de manipulation des expressions, pas du tout de compréhension profonde du truc.

Salut
Une autre essai de présentation
f(x)-f(a)= * (x-a)
Quand x tend vers a, le second membre tend vers f'(a)*0 soit 0
donc, quand x tend vers a, f(x)-f(a) tend vers 0 et donc f est continue en a