Arithmétique - I

[Alexa [Bot]]

Montrer que pour tout entier (), il existe un entier divisible par et dont la somme des chiffres soit égale a ( est écrit dans le système décimal).

Bonne chance (exercice assez difficile)

[Galt]

Une réponse partielle :
Supposons p premier différent de 2 et 5. Je considère le nombre écrit avec chiffres 1, et j'appelle r son reste modulo p (je le suppose non nul pour l'instant).
Je sais que est congru à 1 modulo p, et en supposant que 10 est un générateur du groupe multiplicatif de Z/pZ, une des puissances de 10 à partir de sera congrue à -r modulo p. Finalement, en metant un 1 à cet endroit, puis des zéros et ma suite de chiffres 1, je forme bien un nombre dont la somme des chifres est p , et multiple de p
Le problème, c'est que 10 n'est pas toujours générateur du groupe multiplicatif, par exemple pour p =13
J'en suis là pour l'instant
Je pense quand même qu'on doit pouvoir fabriquer ce nombre en utilisant seulement les chiffres 0 et 1, et étendre à n'importe quelle base de numération
Gqlt

[pianozik]

Je ne pense pas que ça marchera juste pour les nombres composés de et , par example si on prend le nombre , on a

Mais la méthode que vous avez appliquée dépasse le niveau où on est, peut être on aura ça en terminale, cependant, je n'ai rien pigé de la démonstration.
Moi j'ai essayé avec des polynômes,
Donc
Par la division euclidienne, je dois trouver un polynôme dont les coefficient sont des entiers, et à la fin, on donne et d'ici, la troisème polynôme sera de pour égale à un certain nombre ( par example), mais jusqu'à mnt, la division me conduit vers des déductions lointaine. Peut être le chemin est long, mais donnez moi votre avis, merci en avance. Ah ! tjrs je cherche une autre méthode plus simple, peut être je garde les polynômes mais je simplifie la méthode (si le mot simplifier va dans cette place, lol)
merci

[Galt]

Je n'écris que des conneries
Quand p est premier (diférent de 2, 3 ou 5), le nombre composé de chiffres 1 est toujours un multiple de p (puisqu'il vaut ) et que justement, p étant premier, est congru à 1 modulo p, et donc mon reste est nul. Je ne peux donc pas ajouter de chiffre 1 à gauche si facilement. Je décale donc le dernier 1 vers la gauche. Pour l'instant, la somme des chiffres est , et mon nombre(1011...1) s'écrit donc , il est donc congru à soit à 9 modulo p.
Si maintenant je peux trouver une puissance de 10 congrue à -9 modulo p je vais m'en sortir.

[pianozik]

Peut être j'ai une diée, est-ce qu'on peut démontrer par récurrence ? j'ai essayé par récurrence et peut être ça marche, bon je vais l'écrire.
Pour le nombre , (p)




[indent]Pour




[/indent] et et par conséquent, le quotient donne qui est un entier


On suppose (p). Soit un entier.



... à la fin on trouve que c'est vérfié pour ou
Mais bon, je ne suis pas sûr

[Galt]

A mesure que je deviens vieux
Je m'en aperçois mieux
J'ai le cerveau qui flanche
Soyons sérieux disons le mot
C'est même plus un cerveau
C'est comme de la sauce blanche (Boris Vian)
Si p est premier (diférent de 2 ou 5), il existe une puissance de 10 congrue à 1 modulo p (au pire ). appelons la k . Il est évident que , ... sont tous congrus à 1 modulo p, et leur somme est donc congrue à p modulop , et a bien pour somme des chiffres p
Pour un nombre non premier, je continue à chercher
Galt

[Galt]

Je le tiens (mais qu'est ce que ça a été laborieux)
Si 10 est premier avec s , alors il existe une puissance de 10 (différente de 1) congrue à 1 modulo s . En effet, les s nombres ne peuvent pas avoir de reste nul dans la division par s , deux restes sont donc égaux. On a donc modulo s , donc modulo s . Appelons donc k cette puissance. Les s nombres 1, , ... sont tous congrus à 1 modulo s , leur somme est un multiple de s , et elle s'écrit avec s chifres 1 (et un paquet de chiffres 0).
Si maintenant 10 n'est pas premier avec s , on écrit avec q premier avec 10, on écrit le nombre multiple de q avec q chiffres 1, qu'on répète fois pour que la somme des chiffres soit s . C'est encore un multiple de q . Pour en faire un multiple de s , on ajoute autant de zéros qu'il le faut à droite (sup (a ,b ).
Cette démonstration marche pour toutes les bases
Ouf

[aviateurpilot]

on prend n=s
car s est divisible par s , et la somme des chiffres de s est s

[Patastronch]

et la somme des chiffres de s est s

Tu sors ca d'ou ?

un contre exemple : 10

[aviateurpilot]

ooooooooooooopss :briques:

[altusi]

posons s=(2^p)*(5^q)*t tel que t soit premier avec 2 et 5.
et désignons par f(t) l'indicateur d'Euler.
on s'apreçoit que n=(10^(a+b))(10^f(t)+10^2f(t)+....+10^sf(t)) convient car

10^kf(t)=1 mod(t) pour tout k appartenant à {1,2,...s}