Question sur non injectif=>non surjectif en dim finie

[Cryptocatron-11]

BJ ,

Soit f une application de E dans F. Avec E et F deux espaces vectoriels de dimension FINIE.

si on montre que c'est pas injectif, est ce que ça prouve aussi que ce n'est pas surjectif.

Car si f n'est pas injective , ça veut dire qu'il y a au moins une image qui contient plus que un antécédent. Et donc je me demandais si cela n’entraînait pas le fait qu'ils puissent y'avoir des éléments d'arrivée de F qui ne contiennent aucun antécédents. Et que donc , il n'y aurait pas surjectivité.
Mais comme il y a une infinité d'éléments dans l'ensemble d'arrivée F , et ben ça remet tout en doute. Je ne sais plus trop quoi penser.

[arnaud32]

que peux tu dire des dimensions de E, f(E) et F ?

[gdlrdc]

faux,Exemples:

l'application nulle f:E vers F={0}.
f n'est pas injective mais elle est surjective

Ou encore f:C^2 (complexes) vers R (réelles)
définie par f(z1,z2) = module(z1)-module(z2)

[Nightmare]

Hello,
Ton application f est-elle linéaire? Si oui, en dimension finie, linéaire injective <=> linéaire surjective donc si l'un manque l'autre aussi. Pour le voir : théorème du rang.

gdlrdc > Pourquoi ta première application est-elle surjective?

[gdlrdc]

Je ne vois pas ou est le problème Nightmare, ou alors une hypothèse m'a échappé.

Sinon, l'équvalence entre injectif et surjectif à l'aide du théorème du rang est valable à la condition que dimE=dimF, il me semble?

[Nightmare]

Ton application envoie tout les éléments de E sur {0}, comment un élément non nul de F pourrait-il avoir un antécédent?

[gdlrdc]

j'ai pris F={0} dans mon exemple

[Nightmare]

Désolé, je n'avais pas compris ton ={0} ainsi. Tout va bien du coup.

[gdlrdc]

faudrait que je me mette au latex pour être plus clair mais j'ai la flemme, désolé ::))

[Cryptocatron-11]

Hello,
Ton application f est-elle linéaire? Si oui, en dimension finie, linéaire injective linéaire surjective donc si l'un manque l'autre aussi. Pour le voir : théorème du rang.

ben dans ce cas , pourquoi y'a t-il des contre-exemples . Exemple avec la projection. On est dans R^3=E et on a deux sev F(plan) et G(droite) qui sont supplémentaires. Je projette les éléments de E dans G selon F, ben p est surjective mais pas injective.

Dans cet exemple on a donc p := R^3 ->R² et non pas p:=R^3->R^3.

Je crois que ce que tu veux dire c'est que si on aurait eu p:=R^3->R^3 alors elle serait ni inj, ni surj. C'est un peu la même histoire qu'avec gdlrdc quand il a mis F={0} car tu croyais que F n'était pas réduit au vecteur nul ... et qu'il s'agissait surement d'un F= R ou R² ou autres... C'est ça?

[gdlrdc]

Soit f: E1 vers E2 linéaire avec E1 et E2 de dim finie
Il faut que E1 et E2 soient de même dimension pour que f bijective équivaut à f injective équivaut à f surjective.

[Cryptocatron-11]

Soit f: E1 vers E2 linéaire avec E1 et E2 de dim finie
Il faut que E1 et E2 soient de même dimension pour que f bijective équivaut à f injective équivaut à f surjective.

Ouais donc du coup ma projection vectorielle p si je la défini de R^3 dans R^3.

Bon je pose une condition sur F et G. F={(x,y,z)|x+y=0} et G={(x,y,z)|x=y=z}.. Et donc tous les éléments v de F sont de la forme

du coup p:=(x,y,z)->

et cette application n'est ni injective ni surjective si je comprend bien ..

[Doraki]

c'est une fonction de quel espace vectoriel dans quel espace vectoriel ?
et ça veut dire quoi, X2(x,y,z) ?

[Cryptocatron-11]

c'est une fonction de quel espace vectoriel dans quel espace vectoriel ?

de E dans E.

et ça veut dire quoi, X2(x,y,z) ?

c'est les coordonnées d'un vecteur v F. v c'est un vecteur du sev F qui est de dim 2. D'après les conditions que j'ai posé dans F, bah on sait que tout vecteur v dans F est de la forme

Après on cherche à projeter grâce à l'AL "p" les éléments de E sur F selon G. On sait aussi que .

Et donc pour moi , c'est ni inj ni surj ...

[Doraki]

En effet, cette fonction de E dans E n'est ni injective ni surjective.

[Cryptocatron-11]

Cette application peut elle être vue comme p:=E->F ? car

[Doraki]

Oui tu peux restreindre l'ensemble d'arrivée à F, pour obtenir une autre fonction, qui est de E dans F.
Qui n'est pas injective, mais qui est surjective.