Arithmétique

[sorrrab]

Bonjour,

Je suis nouveau sur ce site, j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aidez ?

Voila l'énoncer.

Montrer, en utilisant les congruences et la disjonction des cas, que, pour tout initier naturel n ;) N, l’entier n (n+1) (2n+1) est un multiple de 6.

Je sais que pour tout nEN, n(n+1) est multiple de 2.
Donc, j’ai hésite à démontrer que si n=6p alors 6p (n+1) (2n+1)=6q, maintenant dois-je essayer avec n=6p+1 ?
J'ai un peu de mal.

Merci d’avance pour votre aide.

[Judoboy]

Bonjour,

Je suis nouveau sur ce site, j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aidez ?

Voila l'énoncer.

Montrer, en utilisant les congruences et la disjonction des cas, que, pour tout initier naturel n N, l’entier n (n+1) (2n+1) est un multiple de 6.

Je sais que pour tout nEN, n(n+1) est multiple de 2.
Donc, j’ai hésite à démontrer que si n=6p alors 6p (n+1) (2n+1)=6q, maintenant dois-je essayer avec n=6p+1 ?
J'ai un peu de mal.

Merci d’avance pour votre aide.

Soit tu montres que n(n+1)(2n+1) est multiple de 3 et c'est fini.

Soit tu dis que n(n+1)(2n+1)/6 c'est la somme des k² pour k variant de 1 à n, donc c'est entier, donc le truc du haut est un multiple du truc du bas.

[Dinozzo13]

Salut !

L'énoncé voudrait que tu montres que en effectuant tout les cas possibles :
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .

Après, je ferai comme l'a suggéré judoboy : .

:++:

[Judoboy]

Salut !

L'énoncé voudrait que tu montres que en effectuant tout les cas possibles :
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .

Pas la peine de faire tout ça, et l'esprit de l'énoncé c'est de faire avec les congruences. On sait déjà que c'est multiple de 2 (car soit n est pair soit n+1 est pair).

Reste à prouver que c'est multiple de 3. Avec la congruence modulo 3, si n et n+1 ne sont pas multiples de 3, que peux-tu dire de la congruence de n modulo 3 ? Que peux-tu en déduire sur 2n+1 ?

[sorrrab]

Tout d’abord bonjour et merci pour votre aide.

Je n’ai pas de connaissances approfondies en arithmétique, en + mon cours est particulièrement résumé…

Je cherche la logique de l’exercice.

Nous savions que n est paire parce qui n=6.
Ensuite n=2k avec k entier naturel.

Après, je dois prouver que l’entier n (n+1) (2n+1) est multiple de 6.

Donc, je suppose que 3 cas sont possibles :

n = 0 (3) divisible par 3
n = 1 (3) 2n +1 est divisible par 3
n = 2 (3) n+1 est divisible par 3

Jusque là tout va bien, mais après je ne vois pas comment mettre le nombre 6 en rapporte avec la suite de la résolution…

Merci pour votre temps.

[Dinozzo13]

Montrer que est divisible par 6 équivaut à montrer que est divisible par 2 et 3.

Pour montrer que est divisible par 2, tu testes tous les cas :
- n pair ;
- n impair.

Pour montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 3, tu testes tous les cas :
- ;
- ;
- ;

Remarque :
Quand tu montres que est divisible par 2 en testant les cas, n pair et n impair, c'est comme si tu testais les cas et :++:

[sorrrab]

Bonjour,

Je suis toujours bloqué malgré votre aide précieuse.
Je cherche à comprendre la logique de l’exercice. Est-ce que vous auriez des bons sites ou exercices résolus à me recommander ?

Merci de votre compréhension.

[Judoboy]

Bizarre que tu bloques, c'est vachement intuitif :

Si n est pair ton expression est multiple de 2.
Si n est impair, n+1 est pair et donc ton expression est multiple de 2.

Dans tous les cas ton expression est multiple de 2.

Maintenant on a 3 cas possibles pour la congruence modulo 3 : soit n=3k pour un k entier naturel, soit n=3k+1, soit n=3k+2.

Si n = 3k alors n est multiple de 3 et donc ton expression est multiple de 3. Comme on sait déjà qu'elle est multiple de 2, elle est donc multiple de 6.

Si n=3k+1, 2n+1 = 2(3k+1) +1 = 6k+2+1 = 6k+3, multiple de 3 donc ton expression est multiple de 3, et donc multiple de 6 puisqu'on a vu qu'elle était paire.

Si n = 3k+2, n+1 est multiple de 3 et ton expression est alors multiple de 6.

[sorrrab]

Merci de votre patiente et de l’aide que vous m’avez apportée.
Ça m’a beaucoup servi.

A bientôt.