Preuve de probabilité

par **matae** » 11 Mai 2012, 16:52

Bonjour, je suis une élève du Canada, niveau bacc supérieur troisième année, mais la matière que je vois en ce moment est une revue d'un cours de plus bas niveau.

Alors mes questions sont

Prouve P(A1 U A2) plus grand ou egal max{P(A1), P(A2)}, et que P(A1 U A2 U A3) plus grand ou égal max{P(A1), P(A2), P(A3)}. Comment peut-on généraliser ceci à N évênement?
Aide: Prouve en premier que P(A1 U A2) plus grand ou egal P(A1) et P(A1 U A2) plus grand ou egal P(A2).

Prouve que P(A1 U A2 U A3) plus petit ou égal P(A1) + P(A2) + P(A3). Ceci est la propriété de subaddition de la probabilité pour trois évènements. Comment ceci se généralise-t-il à N évènements?
Ceci est traduit de l'anglais, alors les termes ne sont peut-être pas parfaitement juste.

Merci beaucoup!!

par **Nightmare** » 11 Mai 2012, 17:33

Bonjour,

qu'as-tu essayé? Quelle est ta définition d'une probabilité?

par **matae** » 11 Mai 2012, 19:30

Nightmare a écrit:Bonjour,

qu'as-tu essayé? Quelle est ta définition d'une probabilité?

Ma définition de probabilité est la chance qu'un évènement arrive. Je crois qu'il faut que j'utilise la propriété

P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 n A2), mais je ne sais pas trop quoi faire avec l'intersection.
Aussi, je crois que pour prouver que P(A1UA2) plus grand ou egale P(A1) ou P(A2),
je peux le faire en disant que Si A appartient à A1UA2, alors automatiquement, P(A1UA2) est plus grand que P(A1) ou P(A2), mais je ne sais pas si cela est trop directe et qu'il me manque un bout.

par **Nightmare** » 11 Mai 2012, 19:33

matae a écrit:Ma définition de probabilité est la chance qu'un évènement arrive.

Et quelle est ta définition de "la chance qu'un évènement arrive" ? La "chance", ça ne semble pas vraiment mathématique.

je peux le faire en disant que Si A appartient à A1UA2, alors automatiquement, P(A1UA2) est plus grand que P(A1) ou P(A2), mais je ne sais pas si cela est trop directe et qu'il me manque un bout.

Oui, si A est inclus dans B, P(A) < P(B).

par **matae** » 11 Mai 2012, 20:36

Nightmare a écrit:Et quelle est ta définition de "la chance qu'un évènement arrive" ? La "chance", ça ne semble pas vraiment mathématique.

Effectivement, mais le bon terme mathématique est probabilité

C'est le ''risque'' que l'évènement se produise. Par exemple, quand on fait pile ou face, il y a théoriquement une probabilité de 1/2 que l'on tombe sur pile ou sur face.

Nightmare a écrit:Oui, si A est inclus dans B, P(A) < P(B).

J' ai pensé et je ne pense pas pouvoir utiliser ce principe pour prouver ce que j'ai à prouver. Il faut que je commence par prouver que P(A1 U A2) est plus ou égal à P(A1) ou P(A2), ce que j'ai de la difficulté si A1 et A2 sont disjoints.
Je ne comprend juste pas comment commencé cette preuve.

par **Nightmare** » 11 Mai 2012, 21:01

A défaut d'avoir une définition de la probabilité, tu en as surement des propriétés.

Par exemple, connais-tu la propriété disant que si A et B sont deux évènements, P(AUB)=P(A)+P(B)+P(A inter B) ?

Si oui, que te donne cette propriété dans le cas où A et B sont disjoints?

Maintenant, concernant P(A1 U A2) : On suppose que A1 et A2 sont quelconques, sous-entendu pas nécessaire disjoints. Saurais-tu trouver deux ensembles disjoints qui s'écrivent à l'aide de A1 et A2 dont la réunion est exactement la même que A1 U A2? (Tu peux faire un dessin).

par **matae** » 11 Mai 2012, 23:58

Nightmare a écrit:A défaut d'avoir une définition de la probabilité, tu en as surement des propriétés.

Par exemple, connais-tu la propriété disant que si A et B sont deux évènements, P(AUB)=P(A)+P(B)+P(A inter B) ?

Si oui, que te donne cette propriété dans le cas où A et B sont disjoints?

Maintenant, concernant P(A1 U A2) : On suppose que A1 et A2 sont quelconques, sous-entendu pas nécessaire disjoints. Saurais-tu trouver deux ensembles disjoints qui s'écrivent à l'aide de A1 et A2 dont la réunion est exactement la même que A1 U A2? (Tu peux faire un dessin).

Lorsqu'ils sont disjoints, je sais que P(AUB)=P(A)+P(B). S'ils sont disjoints, c'est pas mal facile à partir de cela de prouver que P(AUB) est plus grand que P(A) et P(B).
Toutefois, s'ils ne sont pas disjoints,
P(AUB)=P(A)+P(B) -P(A inter B), je ne sais pas quoi faire du -P(A inter B).
Deux ensembles disjoints qui s'écrivent en fonction de A1 et A2 serait A1-A2 et A2-A1. Ils sont disjoints entre eux... mais je ne suis pas certaine de savoir quoi faire avec cela?

J'ai peut-être trouvé quelque chose, mais je doute de la validité.
Si je peux dire que A1 U A2 >= A1 ou A2, est-ce que je peux passer directement à P(A1 U A2) >= P(A1) ou P(A2) et vue que P(A1) et P(A2) sont supérieurs à 0 et non égaux, il y en a un automatiquement plus grand que l'autre, donc : P(A1 U A2) >= au maximum des deux.

par **Nightmare** » 12 Mai 2012, 00:40

matae a écrit:Lorsqu'ils sont disjoints, je sais que P(AUB)=P(A)+P(B). S'ils sont disjoints, c'est pas mal facile à partir de cela de prouver que P(AUB) est plus grand que P(A) et P(B).

C'est ok

Deux ensembles disjoints qui s'écrivent en fonction de A1 et A2 serait A1-A2 et A2-A1. Ils sont disjoints entre eux... mais je ne suis pas certaine de savoir quoi faire avec cela?

Il y a un peu plus simple : Que dire de A1 et A2-A1 ?

J'ai peut-être trouvé quelque chose, mais je doute de la validité.
Si je peux dire que A1 U A2 >= A1 ou A2

Que veut dire le signe "supérieur" ici?

par **matae** » 12 Mai 2012, 01:09

Nightmare a écrit: Il y a un peu plus simple : Que dire de A1 et A2-A1 ?

Qu'ils sont aussi disjoints! P(A1UA2)= P(A1 U (A2-A1)) = disjoints donc = P(A1) + P(A2-A1)
Donc on peut dire que P(A1UA2) est plus grand ou égal àa P(A1), de la même manière,
P(A1UA2) = P((A1-A2) U A2) = P(A1-A2) + P(A2) donc P(A1UA2) est plus grand ou egale à P(A2) ...
Correcte?

Nightmare a écrit:Que veut dire le signe "supérieur" ici?

Plus grand que? Il y a plus d'éléments dans l'union que dans l'évènement simple.

par **Nightmare** » 12 Mai 2012, 01:47

matae a écrit:Qu'ils sont aussi disjoints! P(A1UA2)= P(A1 U (A2-A1)) = disjoints donc = P(A1) + P(A2-A1)
Donc on peut dire que P(A1UA2) est plus grand ou égal àa P(A1), de la même manière,
P(A1UA2) = P((A1-A2) U A2) = P(A1-A2) + P(A2) donc P(A1UA2) est plus grand ou egale à P(A2) ...
Correcte?

correct!

Plus grand que? Il y a plus d'éléments dans l'union que dans l'évènement simple.

Admettons, mais que signifie "A a plus d'élément que B" lorsque A et B sont des ensembles qui ont une infinité d'élément?

ne pourrais-tu pas remplacer le signe >= par un signe plus connu chez les ensembles et qui voudrait dire plus simplement ce que tu entends par "plus d'élément que" ?

par **matae** » 12 Mai 2012, 05:25

Nightmare a écrit:correct!

Admettons, mais que signifie "A a plus d'élément que B" lorsque A et B sont des ensembles qui ont une infinité d'élément?

ne pourrais-tu pas remplacer le signe >= par un signe plus connu chez les ensembles et qui voudrait dire plus simplement ce que tu entends par "plus d'élément que" ?

Je ne suis pas certaine d'où tu veux en venir. Honnêtement, je suis un cours en anglais et je suis francophone et ça fait seulement deux semaines que les cours sont commencés, alors j'essai d'assimiler, mais c'est un peu rapide. À mon avis, si les ensembles sont infini, alors au lieu d'avoir le plus ou moins égal on aurait seulement le = non??

Ma preuve précédemment n'est pas suffisante?

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