Exercice limite

[Raven]

bonsoir voici un sujet ; http://math.univ-lille1.fr/~mass/Cours_Maths_fichiers/Ana-S2/Ex_MASS_Ana2_Mai11.pdf

pour l'exercice 1
1) je trouves -x²/2-4x^4/24+x^4epsilon de x
2)je ne sais pas comment démarrer pouvez vous m'éclairer ?
merci

[manoa]

bonsoir voici un sujet ; http://math.univ-lille1.fr/~mass/Cours_Maths_fichiers/Ana-S2/Ex_MASS_Ana2_Mai11.pdf

pour l'exercice 1
1) je trouves -x²/2-4x^4/24+x^4epsilon de x
2)je ne sais pas comment démarrer pouvez vous m'éclairer ?
merci

je ne sais pas si ça peut aider mais tu peut le voir comme :

[Kikoo <3 Bieber]

je ne sais pas si ça peut aider mais tu peut le voir comme :

Tu te gaves, Manoa ! T'es sûr d'être en TS ? :hum:

[MacManus]

bonsoir voici un sujet ; http://math.univ-lille1.fr/~mass/Cours_Maths_fichiers/Ana-S2/Ex_MASS_Ana2_Mai11.pdf

pour l'exercice 1
1) je trouves -x²/2-4x^4/24+x^4epsilon de x

Salut,
Pour le 1) tu as dû faire une petite erreur car on doit trouver normalement -x²/2 -x^4/12 +o(x^4)

[newman]

j'ai du mal à obtenir un équivalent de l'expression en exponentielle à cause de l'impossibilité de composer l'équivalence par le logarithme népérien..cependant pour ce qui est de la limite uniquement il est très facile de conjecturer que cela devrait etre exp(-1/2)...il suffit de remplaçer le cosinus par racine(1-sin²) et penser dans sa tête X=sinx...Cependant je n'arriverais pas à l'écrire et expliquer rigoureusement sur une copie

[Raven]

et donc la limite est -1/2?

et pour le DL : je trouves toujours -x²/2-x^4/6+x^4epsilon de x ..

[MacManus]

pour le DL : je trouves toujours -x²/2-x^4/6+x^4epsilon de x ..

Comment procèdes-tu pour calculer ce DL ?

[Raven]

alors je fais ln(1-x²/2+x^4/4+x^4epsilon de x)
=ln(1+t)où t = -x²/2+x^4/4+x^4epsilon de x
donc ca fait -x^2+x^4+x^4epsilon de x^4+((x^4/2+x^4/4+x^4epsilon de x))/2
=-le début +2x^4/4/2+x^4epsilon de x
donc ça fait -x²/2+2/8x^4+x^4epsilon de x ..
bah dis donc je trouves encore autre chose...

[MacManus]

alors je fais ln(1-x²/2+x^4/4+x^4epsilon de x)
=ln(1+t)où t = -x²/2+x^4/4+x^4epsilon de x
donc ca fait -x^2+x^4+x^4epsilon de x^4+((x^4/2+x^4/4+x^4epsilon de x))/2
=-le début +2x^4/4/2+x^4epsilon de x
donc ça fait -x²/2+2/8x^4+x^4epsilon de x ..
bah dis donc je trouves encore autre chose...

Bon, il y a de l'idée, mais ce n'est pas correct.
Tu peux tout d'abord remarquer que ln(cos(x))=ln(1+(cos(x)-1)) pour ensuite appliquer la composition des DL en 0 de cos(x)-1 et de ln(1+x).
A l'ordre 4, on a:

ln(1+x) = x - x²/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + o(x^4)
cos(x) - 1 = - x²/2 + (x^4)/24 + o(x^4)

donc

ln(1+(cos(x)-1)) = -x²/2 + (x^4)/24 -(1/2)[-x²/2 + (x^4)/24]² + (1/3)[-x²/2 + (x^4)/24]^3 -(1/4)[-x²/2 + (x^4)/24]^4 + o(x^4)
On souhaite cependant garder uniquement les termes de degré inférieur à 4 et éliminer les termes de degré strictement supérieur à 4, donc cela donne:
ln(cos(x)) = -x²/2 + (x^4)/24 - (1/2)[(x^4)/4] + o(x^4) = -x²/2 -(x^4)/12 + o(x^4)

[Raven]

pourquoi Ln(1+(cos(x)-1) il vient de où le -1?

[newman]

1+ (cosx -1)=(1-1) +cosx=cosx

[Raven]

je vois toujours pas où vient le -1..j'ai vu le +1avec cos x mais le -1?

[MacManus]

je vois toujours pas où vient le -1..j'ai vu le +1avec cos x mais le -1?

Tu introduis le -1 pour dire que 1+(cos(x)-1)=cos(x) (comme le dit newman) car tu vas utiliser le DL en 0 de cos(x)-1. Si tu connais le DL en 0 de cos(x), alors tu connais le DL en 0 de cos(x)-1. Ensuite tu utilises le DL en 0 de ln(1+X) avec X=cos(x)-1 et tu obtiens ton résultat.

[MacManus]

cela devrait etre exp(-1/2)...il suffit de remplaçer le cosinus par racine(1-sin²) et penser dans sa tête X=sinx...Cependant je n'arriverais pas à l'écrire et expliquer rigoureusement sur une copie

En effet, et , d'où le résultat sur la limite.

En ce qui concerne le DL en 0 à l'ordre 4 de , je trouve: . En composant par le DL de l'exponentielle en 0 à l'ordre 4, on obtient le DL de l'expression initiale qui est (et on retrouve la limite attendue heureusement)

[newman]

ok je vois en faisant le calcul de mon côté je trouve pareil

merci

[Raven]

pour la première question j'ai compris merci
pour la deuxiéme , pourquoi le 1/2 aprés l'exponentielle ?
et la limite est toujours -1 ?
Et pour le DL de ln(cosx)/sin²x en composant par l'exponentielle pourquoi on utilise des racines de e en composant le DL ? parce que le dl de l'exponentielle c'est bien1+x+x²/2+.. on remplace x par toute l'expression -1/2-x²/4.. ?

[MacManus]

pour la première question j'ai compris merci
pour la deuxiéme , pourquoi le 1/2 aprés l'exponentielle ?
et la limite est toujours -1 ?
Et pour le DL de ln(cosx)/sin²x en composant par l'exponentielle pourquoi on utilise des racines de e en composant le DL ? parce que le dl de l'exponentielle c'est bien1+x+x²/2+.. on remplace x par toute l'expression -1/2-x²/4.. ?

Je vais détailler.

En ce qui concerne la limite :


et ln(1-x)/x tend vers -1 quand x tend vers 0. La limite est donc

En ce qui concerne le DL :

[Raven]

pour le DL de ln cos(x)/sin²x tu fais le DL de ln(cosx)*(1/sin²x)
parce que sin²x : j'ai x²-x^4/3+x^4epsilon de x
et Ln(cos(x))= -x²/2 -x^4/12 + o(x^4)
mais ensuite en multipliant j'ai : -1/2+x^4/2+x^4o(x^4)..

[saber]

svp qui peut me prouver la forme indéterminée de la limite 1 tend vers +l'infinie