Polynomes

[Balmont]

Bonjour,
J'ai un devoir en math j'arrive pas a savoir si j'ai trouvé la solution ou pas.
Il faut enfait reconnaitre un polynôme Produit de k=1 à (n-1) de (X-exp(2ikPi/n)).
On a en effet toutes les recines niemes de (X^n)-1 mis a part une. celle de (k=0)
Du coup on a (X^n)-1=(Produit de k=1 à (n-1) de (X-exp(2ikPi/n)))(X-1)ainsi ce polynome est (X^n-1)/(X-1)
Mais comment puis-je faire pour prouver que c'est un polynome?Aidez-moi SVP

Excusez moi pour l'ecriture, mais j'ai pas trouvé dans l'aide comment exprmer les produits.

[Maxmau]

Bonjour,
J'ai un devoir en math j'arrive pas a savoir si j'ai trouvé la solution ou pas.
Il faut enfait reconnaitre un polynôme Produit de k=1 à (n-1) de (X-exp(2ikPi/n)).
On a en effet toutes les recines niemes de (X^n)-1 mis a part une. celle de (k=0)
Du coup on a (X^n)-1=(Produit de k=1 à (n-1) de (X-exp(2ikPi/n)))(X-1)ainsi ce polynome est (X^n-1)/(X-1)
Mais comment puis-je faire pour prouver que c'est un polynome?Aidez-moi SVP

Excusez moi pour l'ecriture, mais j'ai pas trouvé dans l'aide comment exprmer les produits.

Bonjour

(x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) +....................+ x² + x + 1) = ??

[Balmont]

Bonjour

(x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) +....................+ x² + x + 1) = ??

Merci!
C'est égal à (X^n)-1
Je vois maintenant!
Mais comment je pouvais penser a ca? OU c'est l'experience?

[Balmont]

On m'a aussi demandé de déduire produit de 1 à (n-1) de sin(kPi/n)

C'est bien a euler que je dois penser? ou il y a -t-il autre chose?

[Maxmau]

Merci!
C'est égal à (X^n)-1
Je vois maintenant!
Mais comment je pouvais penser a ca? OU c'est l'experience?

En faisant par exemple la division euclidienne (suivant les puissances décroissantes) de X^n - 1 par X-1

[Balmont]

Merci!
Et vous avez une idée pour le sinus?
Je n'arrive pas à isoler dans Euler, X non dependant de n)
J'ai essayé de multiplier par exp(ikPi/n) rien n'y fait

[Maxmau]

Merci!
Et vous avez une idée pour le sinus?
Je n'arrive pas à isoler dans Euler, X non dependant de n)
J'ai essayé de multiplier par exp(ikPi/n) rien n'y fait

fais x=1

et utilise : (1 - exp(2it)) = -exp(it) (exp(it) - exp(-it))

[Balmont]

fais x=1

et utilise : (1 - exp(2it)) = -exp(it) (exp(it) - exp(-it))

Oui et après seulement j'introduis le sinus?

[Maxmau]

Oui et après seulement j'introduis le sinus?

oui
tu as: n =(Produit de k=1 à (n-1) de (1-exp(2ikPi/n)))
en prenant les modules (ça simplifie mais c'est pas obligatoire)
n =(Produit de k=1 à (n-1) de |1-exp(2ikPi/n|)
tu transformes |1-exp(2ikPi/n| pour faire apparaitre un sinus.