ENS1D2 a écrit:Bonjour,
J'ai cet exercice à faire en DM, mais je bloque sur quelques questions...Voici l'énoncé:
Et voici ce que j'ai fait jusque là:
1. a. En résolvant le système
x+2y-z=0
2x+4y-2z=0
-x-2y+z=0
On trouve une base du noyau qui est ((1,0,1) ; (0,1,2))
b. De la même manière, en ayant à la place des 0 a,b,c on trouve une base de l'image: (1,2,-1) donc f est de rang 1
c. On démontre aisément que c'est une famille libre et vu que dim E = 3 et qu'on a 3 vecteurs c'est une base de E.
Par contre, comment écrire la matrice A' de f dans la nouvelle base ? On utilise la matrice de passage et le théorème A'=PAP^-1 ?
2. a. Base de Ker g: (1,0,1) et (0,1,-1) de la même manière que dans le 1
b. Base de l'image: (1,2,-1), idem
c. w1=g(e3) donc c'est la 3e colonne dans la matrice, donc w1=(-1,-2,1)
w2=(1,1,0)
e3=(0,0,1)
On démontre que c'est une famille libre, et comme c'est une famille de 3 vecteurs et que dim E = 3, c'est une base de E.
Mais j'ai le même problème pour écrire C' dans la nouvelle base...
3. a. Si h satisfait (1)
Im(h) (somme directe) Ker(h) = E ce qui revient à dire que Im(h) inter Ker(h) = {0E} et Im(h)+Ker(h)=E
Or, si h satisfait (2), Im(h) est inclus dans Ker(h), donc Im(h) inter Ker (h) = Im(h)
Or Im(h) ne peut pas être égal à {0E} car h est de rang 1 donc dim Im(h) = 1
Donc si h satisfait (1), h ne satisfait pas (2), et vice versa.
________________________
Et là impossible de savoir comment répondre aux questions b & c...J'ai beau poser les hypothèses sur le papier, rien ne fait le lien dans ma tête.
Le seul petit indice que je vois, c'est que le nombre de colonne de 0 de D représente la dimension du noyau, et l'unique colonne nous dit que la dimension de l'image est de 1, chose que l'on sait déjà puisque h est de rang 1...Mais ce n'est pas en rapport avec l'hypothèse (1).
Je ne vois vraiment pas le rapport entre Ker, Im et la matrice ainsi écrite...
Si quelqu'un pouvait aider...merci d'avance !
Doraki a écrit:Si Be = (e1...en) est une base de E, Bf = (f1...fm) une base de F, et u une application linéaire de E dans F,
tu peux calculer les nombres uij tels que pour tout i, u(ei) = somme des uij * fj.
La matrice (uij) s'appelle la matrice de u dans les bases Be et Bf.
Ici tu as choisi ta base exprès pour que les f(ui) aient des formes bien particulières donc il vaut mieux partir directement de la définition.
Par exemple pour commencer est-ce que tu peux montrer qu'il existe un vecteur u1 tel que h(u1) = 0 ?
on sait que dim (Imh)=1 soit v un vecteur de l'image non nul h(v) appartient a l'image donc est colineaire a v donc tu prends pour base (u_1,u_2) une base de Kerh et tu lui ajoutes v
soit u_3 qui engendre Imh et u_1=h(u_3), u_1 est dans Ker(h) car imh est inclus dans Kerh pour u_2 tu prends un deuxieme vecteur de Kerh non colineiares a u_2; dans la base (u_1,u_2,u_3) la matrice de u a la forme voulue
ENS1D2 a écrit:Effectivement, je remarque ceci:
u1 = (1,0,1) = e1 + e3
u2 = (1,0,-1) = e1 - e3
u3 = (0,1,0) = e2
Donc...j'en déduis que f(u1) = f(e1) + f(e3) ; f(u2) = f(e1)-f(e3) et f(u3) = f(e2) c'est ça ?
Et donc pour construire ma matrice, je pars de la matrice A et j'effectue les opérations sur les colonnes. Ce qui au final me donne
A':
0 2 2
0 4 4
0 -2 -2
Je peux faire la même chose avec la matrice C' ?
Avec C', ça me donne:
w1=g(e3)=-e1-2e2+e3
w2=(1,1,0)=e1+e2
e3=e3
En utilisant l'application g:
g(w1) = -g(e1)-2g(e2)+g(e3)
g(w2) = g(e1) + g-e2)
g(e3) = g(e3)
Donc en faisant les calculs:
C':
-4 0 -1
-4 0 -2
0 0 1
Oui, quelque soit u1 appartient à Ker(h), h(u1) = 0
Ceci implique que si u1, u2 est une base de Kerh, h(u1) et h(u2) s'écrivent comme une colonne de 0 dans la matrice représentative de h dans la base u1,u2,u3 ?
Et on justifie le fait que une base de Ker H + une base de Im h suffit à écrire la matrice par la propriété Ker H + Im H = E ?
u3 engendre Imh donc u3 est une base de Im h, d'accord...or comme Imh inclus dans Ker h, h(u3) = 0 non ?
Là je me perds...pourquoi on nous parle de a un nombre réel non nul alors que dans la matrice il n'y a qu'un "1" ?
ENS1D2 a écrit:Effectivement, je remarque ceci:
u1 = (1,0,1) = e1 + e3
u2 = (1,0,-1) = e1 - e3
u3 = (0,1,0) = e2
On trouve une base du noyau qui est ((1,0,1) ; (0,1,2))
De la même manière on trouve une base de l'image: (1,2,-1)
, pour obtenir un truc aussi impossible que ton (u1=(1,0,1) u2=(1,0,-1) u3=(0,1,0)) !?!?Montrer que la réunion des bases précédentes donne une base (u1,u2,u3) de E
ENS1D2 a écrit:Oups, j'ai mal recopié à partir de mon brouillon j'ai confondu avec un exo précédent...
Oui non la bonne base c'est
u1 = (1,0,1)
u2 = (0,1,2)
u3 = (1,2,-1)
Il faudrait donc que j'ai quelque chose comme:
f(u1) = au1 + bu2 + cu3
f(u2) = xu1 + yu2 + zu3
... ? Mais je vois pas comment à l'aide de la matrice A et des deux nouvelles bases je peux arriver à déterminer ces relations...je dois utiliser e1, e2, e3 ? Par exemple u1=e1+e3 ? Ou alors pas du tout ?
ENS1D2 a écrit:Ah ! Ben u1 est une base de Ker f donc f(u1) = 0 !
Pareil pour f(u2).
Et u3 est une base de l'image de f, donc f(u3) = k.u3 ?
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