Trigonométrie

[Pafapafadidel]

Bonjour!

J'ai récemment eu un crise de définition concernant les fonctions cosinus et sinus et le lien entre la définition par les angles d'un triangle rectangle et les fonctions elles meme: il est facile de les définir et d'en déduire leurs propriétés en tant que parties réelle et imaginaire de l'exponentielle complexe, mais existe t'il un autre moyen rigoureux? Mon probleme se trouve en particulier sur la variable: comment justifier le fait que la variable prise dans la fonction sinus se trouve etre la longueur de l'arc de cercle du cercle unité du point (0,1) au point du cercle d'abcisse sin x?
Il me semble que l'on peut trouver le développement en fonction analytique de la fonction sinus par le fait que sa dérivée est égale au cosinus, mais comment justifier, là encore, que la mesure d'angle se fasse en radians dans cette fonction?
Si quelqu'un pouvait me donner une justification claire ou un lien sur une page qui en donne une, j'en serais infiniment reconnaissant. Merci!

[Dlzlogic]

Bonjour,
En fait, j'ai pas trop compris votre question.
Le sinus et le cosinus ne sont pas des fonctions, on appelle plutôt ça des lignes trigonométriques. Ce sont des définitions, ni plus ni moins.
Dans la langages informatique, ça a tout à fait l'air d'une fonction, mais ça n'en a que l'air.
Il y a un certain nombre de propriétés intéressantes, et c'est la raison pour laquelle on les utilise.
Vous dites que la mesure d'angle se fait en radians, moi j'ai une table qui donne ces lignes trigo avec les angles en degrés ou en grade, même pas en radians. Par contre les langages informatiques utilisent généralement le radian comme unité d'angle, pourquoi pas ?

[Skullkid]

Bonjour Pafapafadidel, si tu définis les fonctions sinus et cosinus via le triangle rectangle, il te faut les prolonger "à la main", pour donner du sens par exemple à cos(120°). Le choix de l'unité d'angle est quelque part un faux problème : les fonctions trigonométriques prennent en argument des nombres réels. Le fait de représenter l'argument comme un angle ou comme une longueur d'arc de cercle ne sert finalement qu'à visualiser (évidemment, historiquement ça s'est passé dans l'autre sens, mais comme souvent en maths, on a modifié les définitions au fur et à mesure qu'on en trouvait de plus "profondes"). Le choix du radian comme unité d'angle par les mathématiciens est arbitraire, mais se justifie malgré tout (a priori et/ou a posteriori selon les définitions qu'on prend des fonctions trigo) comme étant le choix le plus naturel.

Sinon, une autre définition possible du cosinus (qui ressemble à de l'exponentielle complexe sans le dire) : c'est l'unique fonction réelle solution de y'' + y = 0 telle que y(0) = 1 et y'(0) = 0.

Le sinus et le cosinus ne sont pas des fonctions

Je me permets de citer un autre membre : "Arrrghghazrraahagaha"

[Dlzlogic]

@ Skullkid,
Bien-sûr, tu as raison de rigoler.
Si on écrit f(x) = sin(x), alors sin() est utilisé comme fonction.
Si on écrit "dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est égal au rapport du côté opposé sur le côté adjacent" ou "dans le cercle trigonométrique etc....", le sinus n'est pas une fonction. Or, sauf erreur de ma part, c'est la définition des lignes trigonométriques.
Toi, tu passes directement à l'étude de la variation d'une ligne trigonométrique en fonction de la variation de l'angle. C'est ton droit.
Cette notion de ligne trigonométrique me parait indispensable si on veut parler de l'unité angulaire.

[EDIT]
Aujourd'hui, il y a eu une question avec une expression de la forme A * e(x)
On comprend assez facilement qu'il s'agit de A * exp(x), ou plutôt de e^x.
e() serait-il donc aussi une fonction comme sin() ?
Je suis persuadé que si on avait dit à notre ami que sin, cos, sec, cosec, tan etc. étaient des lignes trigonométriques, utilisées éventuellement comme des fonctions, ces utilisations auraient été parfaitement claires.

[Pafapafadidel]

Bien entendu, mon problème était le classique "mais il faisaient comment avant?". Il me semble que se poser ce genre de questions permet une compréhension plus profonde de l'objet utilisé, et donc il est essentiel pour moi de mener l'étude jusqu'au bout.
Ma question était en fait plus précisément: comment, en partant de la définition géométrique du sinus, on arrive au développement en série entiere, et en particulier où utilise t'on les radians, étant donné que le développement en série entiere ne serait pas le meme sinon?
Il se trouve que j'ai trouvé ma réponse: elle est dans la démonstration géométrique de la limite de sin x / x quand x tend vers 0, qui est 1. Cela n'est plus vrai si on ne prend pas x en radians. Et cette identité permet de prouver que (sin x)'=cos x, ce qui n'est plus vrai si on ne prend pas x en radians. On retombe alors sur nos pieds en démontrant que notre sin x est bien solution de l'équa diff donnée par skullkid, de meme que sa série de Taylor en 0, ce qui démontre leur égalité par l'unicité de cette équa diff.

Merci et a la prochaine!