Inégalités : suites, fonctions et récurrence

[Joe Black]

Bonjour.

Je cherche depuis plusieurs jours la solution d'un exercice mais je n'y arrive pas.

Soit la fonction


Il existe un unique réel élément de [-2;-1] tel que .

Soit la suite définie par son premier terme
et par la relation suivante :


1) Prouver que est convexe sur R. En déduire que pour tous réels et :


2) En déduire l'inégalité suivante :
Pour tout entier naturel :

Puis que pour tout entier naturel :

En déduire que la suite est convergente vers un réel à préciser.

3) On admet que pour tout de l'intervalle [-2;-1] :


a) Prouver alors que pour tout entier naturel :

b) Puis démontrer par récurrence que pour tout entier naturel :


J'ai répondu à la question 1) en posant la fonction (t)= et en la dérivant deux fois pour en étudier les variations et le signe.

Je bloque à la question 2) mais j'ai quand même réussi à prouver que en remplaçant par et par dans inégalité de la question 1).

Quelqu'un peut-il m'éclairer ?

Merci d'avance.

[gdlrdc]

Pour la question 2, étudie la fonction f, tu verra que f' est positive donc f est croissante et comme f(a)=0 et Un plus grand que a alors f(Un) est positive.
ça devrait t'aider pour montrer la deuxième partie de l'inégalité.

[Joe Black]

Merci beaucoup pour votre réponse.

Je comprends le raisonnement mais comment puis-je affirmer que est plus grand que ? C'est ce que je cherche entre autres à prouver non ?

[Joe Black]

Excusez ma bêtise, je viens de me rendre compte que vu que on peut dire que pour tout de N*.

Merci encore.