Bourrage d'une urne.

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Black Jack

par Black Jack » 01 Mai 2012, 12:16

antonyme a écrit:Salut tous le monde, voici quelque simulations sur Wolfram Mathematica avec des urne de deux boules au départ :

1) Urne : {-1, 1} Graph : b-a en fonction de n avec a le nombre de -1 et b de 1, le numéro du tirage n allant de 0 à 100.
Le résultat varie beaucoup pour chaque simulation mais il est rarement proche de 0.

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2) La même avec n allant de 0 à

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3) Urne : {0,1} Graph : b/n en fonction de n pour n allant de 0 à 1000.
b/n quand b>a varie entre 0,6 et 0,9 environ (très rarement proche de 1/2).

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4) La moyenne sur 100000 simulation du 3) qui donne des valeurs très proches des 3/4

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Je n'ai pas trop compris.

Ta ligne n = n + Abs[Total[list]/Length[list]- 1/2] + 1/2), me semble "favoriser" le 1 par rapport au 0 dans le comptage.

Supposons que lors d'une boucle on ait 600"zéros" et 400 "un", la ligne fait n = n + Abs[(400/1000 - 1/2] + 1/2 = n + Abs(-0,1) + 0,5 = n + 0,6

Mais si lors d'une boucle on avait 400 "zéros" et 600 "un", la ligne donnerait : n = n + Abs[(600/1000 - 1/2] + 1/2 = n + Abs(0,1) + 0,5 = n + 0,6

Donc, que ce soit les zéros ou les uns qui sont majoritaires dans une "boucle", avec ta formule, n augmente.

Faut donc pas s'étonner si le N final est bien plus grand que 1/2.

Comme je suis loin d'avoir lu tout le topic, c'est peut être voulu.

Mais si l'intention est bien de voir la proportion statistique de 1 et de 0 sur un grand nombre d'essais, il faut virer la valeur absolue de la formule.
... Et je parierais que le N final serait alors très proche de 1/2, soit la même proportion de 0 et de 1 qu'au départ.

:zen:



antonyme
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par antonyme » 01 Mai 2012, 16:07

Black Jack a écrit:Je n'ai pas trop compris.

Ta ligne n = n + Abs[Total[list]/Length[list]- 1/2] + 1/2), me semble "favoriser" le 1 par rapport au 0 dans le comptage.

Supposons que lors d'une boucle on ait 600"zéros" et 400 "un", la ligne fait n = n + Abs[(400/1000 - 1/2] + 1/2 = n + Abs(-0,1) + 0,5 = n + 0,6

Mais si lors d'une boucle on avait 400 "zéros" et 600 "un", la ligne donnerait : n = n + Abs[(600/1000 - 1/2] + 1/2 = n + Abs(0,1) + 0,5 = n + 0,6

Donc, que ce soit les zéros ou les uns qui sont majoritaires dans une "boucle", avec ta formule, n augmente.

Faut donc pas s'étonner si le N final est bien plus grand que 1/2.

Comme je suis loin d'avoir lu tout le topic, c'est peut être voulu.

Mais si l'intention est bien de voir la proportion statistique de 1 et de 0 sur un grand nombre d'essais, il faut virer la valeur absolue de la formule.
... Et je parierais que le N final serait alors très proche de 1/2, soit la même proportion de 0 et de 1 qu'au départ.

:zen:

Oui oui c'est bien le but de la simulation (d'ailleurs j'ai un peux bricolé la dessus, je suis pas familié avec les fonctions de WM, le if étais long et galère à écrire mais ça aurait été plus clair :hum: ).
En faite je me doutais bien que pour une urne {a,b} la moyenne des rapports a/b tendrait vers 1/2 alors j'ai voulu la moyenne au n-ième tirage des rapports :
-si a>b -> a/b
-sinon b/a
C'est à dire la probabilité de tirer la boule de l'urne "qui à pris le dessus" au (n+1)-ième tirage

J'ai trouvé ça intéressant parce que intuitivement je m'attendais à ce que ça tende vers 1 quand le nombre de tirage devient très grand.
Sinon je suis peut-être hors sujet car je dois avoué que je n'ai pas tout compris des messages précédent :euh: Et puis comme j'ai pas vraiment le niveau pour interpréter ce résultat je le partage avec vous :we: .

acoustica
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par acoustica » 01 Mai 2012, 16:52

antonyme a écrit:Oui oui c'est bien le but de la simulation (d'ailleurs j'ai un peux bricolé la dessus, je suis pas familié avec les fonctions de WM, le if étais long et galère à écrire mais ça aurait été plus clair :hum: ).
En faite je me doutais bien que pour une urne {a,b} la moyenne des rapports a/b tendrait vers 1/2 alors j'ai voulu la moyenne au n-ième tirage des rapports :
-si a>b -> a/b
-sinon b/a
C'est à dire la probabilité de tirer la boule de l'urne "qui à pris le dessus" au (n+1)-ième tirage

J'ai trouvé ça intéressant parce que intuitivement je m'attendais à ce que ça tende vers 1 quand le nombre de tirage devient très grand.
Sinon je suis peut-être hors sujet car je dois avoué que je n'ai pas tout compris des messages précédent :euh: Et puis comme j'ai pas vraiment le niveau pour interpréter ce résultat je le partage avec vous :we: .


Moi non plus j'ai tout compris des messages mais j'ai mis un lien vers un super doc (message de 20h42). Et non, ça ne tend pas vers 1/2 - 1/2, ni vers 0-1, c'est bien plus joli que ça. =)
Au bout d'un moment, il y a tellement de boules dans l'urne que la proportion se stabilise.... vers une valeur quelque part entre 0 et 1. Tout est possible !

acoustica
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par acoustica » 01 Mai 2012, 17:04

Tiens, mais est-ce qu'on n'aurait pas là une autre démonstration de la non dénombrabilité de R ?
Puisqu'il n'existe pas de probabilité uniforme sur un nombre infini dénombrable, ça voudrait dire alors que [0,1] n'est pas dénombrable non ?

antonyme
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par antonyme » 01 Mai 2012, 18:18

acoustica a écrit:Moi non plus j'ai tout compris des messages mais j'ai mis un lien vers un super doc (message de 20h42). Et non, ça ne tend pas vers 1/2 - 1/2, ni vers 0-1, c'est bien plus joli que ça. =)
Au bout d'un moment, il y a tellement de boules dans l'urne que la proportion se stabilise.... vers une valeur quelque part entre 0 et 1. Tout est possible !

Ah oui, j'avais loupé ton lien. Il est effectivement très intéressant et il a répondu à toutes mes interrogations :id: .
Le résultat de ma simulation est effectivement dû au faite que la proportion converge vers une valeur entre [0,1] mais aussi, encore plus étonnant, au faite que ces "limites" soit réparties de manière uniforme.
En tout cas cette expérience est étonnante par ses résultats :doh: .

beagle
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par beagle » 01 Mai 2012, 18:40

Il y a l'intuitition, la loi de proba et la convergence.

l'intuition dit si a et b au départ, alors cela finira par du 1/2 1/2 ou bien du tout a + miettes de b
ou du tout b + miettes de a, on va vers a ou vers b.

Mais la loi de proba dit si départ en a et b,
c'est la loi uniforme et équiproba,
toutes les combi de k fois le a et n+2-k fois le b sont en mème probas de 1/(n+1),
donc aux erreurs près Gausso-Dlzlogiciennes, elles sont représentées en mème nombre
si on fait un grand nombre de séries.
Comment fait-on pour représenter en équiproba si les séries finissent toutes vers du tout a ou du tout b un jour,
ça devient vachement dur d'avoir des séries à 2/3 représentées de façon équiprobable.
Donc dès la loi de proba on savait que non, cela ne pouvait pas aller vers du tout a ou b.
Depuis le début, on doit retomber sur de l'équiproba, et donc une mème représentation de toutes les combis.

Maintenant la convergence.
on pouvait conserver l'équiproba en faisant varier constamment au sein d'une mème série les proportions de a et de b, avec des oscillations.
Le truc de la convergence, si j'ai compris quelque chose (et c'est pas gagné, mais un grand merci pour le PDF) c'est que en fait passé un certain cap, les séries ne divergeront quasiment plus.Bref plutot que de voir la convergence comme une obligation à aller quelque part, c'est tout le contraire, une obligation à ne plus pouvoir bouger.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

acoustica
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par acoustica » 01 Mai 2012, 18:50

n-ième simulation ci-dessous :

Image

Remarque : on retrouve un phénomène assez analogue à celui du dit "paradoxe" des anniversaires, même si c'est différent, et qu'on raisonne en continu. On tombe très souvent sur des valeurs de convergence très proches, et c'est peut-être ce qui a trompé certains d'entre nous, à commencer par moi quand je disais que certaines observations semblaient très proches, ce qui aurait signifié qu'il y aurait une proportion précise en l'infini. Voir sur ce tirage :

Image

ou ici :

Image

beagle
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par beagle » 02 Mai 2012, 11:58

D'abord merci pour le PDF, car convergence je n'y connaissais rien, et donc je voyais un peu mais très mal ce que faisaient nos Doraki et Fatal.
Mais à la fois dans le PDF et dans les premières réponses que me faisaient acoustica, il y a un peu de confusion entre la loi de proba et convergence.
Car la réponse à la question, si départ en a,b, vais-je finir à terme vers tout, beaucoup de a ou tout beaucoup de b (les quelques isolés de départ ne pouvant disparaitre),
bref cette question avait sa réponse dans la loi de proba,
et c'est pourquoi redonnant la loi de proba (certes Doraki l'avait déjà fait et était déjà à l'étape convergence), je comprenais mal pourquoi acoustica me reprenait.
si a, b, la loi de proba est uniforme,
équiproba de toutes les combi.
bref après n tirages, avoir k fois a et n+2-k fois le b devait se retrouver à égalité du beaucoup-plein de a et du beaucoup -plein de b.
Comment pouvait-on faire converger les séries après un n plus ou moins long vers ce déséquilibre des extrèmes, cela voulait dire qu'après un certain n très grand,
j'étais en sacrée difficulté de redonner de l'équiproba aux séries proches de l'équilibre.
Donc à mon avis, la simple loi de proba suffisait à répondre à une (la initiale) question lorsque point de départ en a,b.

la convergence à suivre
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

beagle
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par beagle » 02 Mai 2012, 12:30

la convergence, explications par celui qui la maitrise le moins,
soyez sympa dans les remarques en ce moment je suis fragile.

Il y a l'explication de Doraki, arrivée très vite:
"Par exemple, si on regarde (X(n+sqrt(n)) - X(n)) * n^(3/4), c'est une variable aléatoire qui devrait converger en loi vers une gaussienne, donc que en sqrt(n) coups à partir de Xn, on peut espérer bouger de O(n^ -3/4) seulement. Et en sommant tout ça, on peut espérer bouger de seulement O(n^-1/4) à partir de Xn (donc plus on avance, plus il est probable qu'on soit coincé dans un petit intervalle)
et donc Xn devrait converger presque sûrement."

Bon, c'est pas pour tout le monde quand mème.
Plus terre à terre et j'espère pas trop faux.
Pour réaliser de l'équiprobabilité sur toutes les combi,
je pouvais le faire en faisant que toutes les séries se baladent d'une extrémité à l'autre, les séries à faible a pouvant remonter progressivement et passer en fort a.Pas facile déjà intuitivement on avait déjà envie de dire non.
Là il se passe que ce sont les séries qui après un certain n vont rester là où elles ont converger,
et ce seront ces séries qui fabriqueront l'équiproba de proximité.
Lorsqu'on regarde la loi de proba à partir du premier déséquilibre 2a 1b,
on voit que les probas vont osciller entre le tout a avec une proba de 2/(n+2) et le tout b qui sera à 2/(n+1)(n+2),
à partir de là les séries issues de 2a 1b vont fabriquer plus d'équiprobables dans la zone des plus de a laissant les 1a 2b rééquilibrer l'ensemble.
Donc on se barre de l'équilibre, mais une droite d'angle 30 degrés avec les abscisses se barre de l'abscisse, elle ne va rejoindre l'ordonnée pour autant.

Et là se surajoute un autre élément.
Nous sommes pauvres humains de base, non mathématiciens, habitués à manipuler des quantités en terme additif-soustractif (a+b) mais beaucoup moins en terme de rapport a/b ou a/(a+b).
Or ce que l'on nomme convergence vers un rapport constant est une divergence, augmentation permanente du a-b.
Lorsque je suis à 6667 a ,après 10000 tirages, et que je fais une série de 10 gains de a de suite, je suis à 6677/10010=0,6670
Ceci rejoint le truc des séries de face et pileà 1/2, après un nombre de tirages certe monstrueux, je peux avoir une différence de F-P de 1 million, donc l'augmentation du nombre des tirages n' a rien fait pour laisser ou rapprocher le déséquilibre en terme de F-P,
sauf que en terme de F/P je dois ètre proche de 1 de façon assez monstrueuse, laissant le rapport 499/501=0,996 très très loin d'une série de 1000 qui a un seul f-p de différence.

Donc si c'est faux, ou si d'autres facteurs plus importants entrent en jeu,
et que l'on peut expliquer "intuitivement", je reste preneur.
En remerciant acoustica de m'avoir fait explorer ce truc.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

acoustica
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par acoustica » 02 Mai 2012, 13:11

beagle a écrit:D'abord merci pour le PDF, car convergence je n'y connaissais rien, et donc je voyais un peu mais très mal ce que faisaient nos Doraki et Fatal.
Mais à la fois dans le PDF et dans les premières réponses que me faisaient acoustica, il y a un peu de confusion entre la loi de proba et convergence.
Car la réponse à la question, si départ en a,b, vais-je finir à terme vers tout, beaucoup de a ou tout beaucoup de b (les quelques isolés de départ ne pouvant disparaitre),
bref cette question avait sa réponse dans la loi de proba,
et c'est pourquoi redonnant la loi de proba (certes Doraki l'avait déjà fait et était déjà à l'étape convergence), je comprenais mal pourquoi acoustica me reprenait.
si a, b, la loi de proba est uniforme,
équiproba de toutes les combi.
bref après n tirages, avoir k fois a et n+2-k fois le b devait se retrouver à égalité du beaucoup-plein de a et du beaucoup -plein de b.
Comment pouvait-on faire converger les séries après un n plus ou moins long vers ce déséquilibre des extrèmes, cela voulait dire qu'après un certain n très grand,
j'étais en sacrée difficulté de redonner de l'équiproba aux séries proches de l'équilibre.
Donc à mon avis, la simple loi de proba suffisait à répondre à une (la initiale) question lorsque point de départ en a,b.

la convergence à suivre


Yo beagle,

J'ai dis pas mal de bêtises au début du fil, j'étais persuadé d'un truc, et... on n'est jamais trop prudent, on s'en rend toujours compte après coup. Sorry for that. :--:

acoustica
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par acoustica » 02 Mai 2012, 13:19

beagle a écrit:la convergence, explications par celui qui la maitrise le moins,
soyez sympa dans les remarques en ce moment je suis fragile.

Il y a l'explication de Doraki, arrivée très vite:
"Par exemple, si on regarde (X(n+sqrt(n)) - X(n)) * n^(3/4), c'est une variable aléatoire qui devrait converger en loi vers une gaussienne, donc que en sqrt(n) coups à partir de Xn, on peut espérer bouger de O(n^ -3/4) seulement. Et en sommant tout ça, on peut espérer bouger de seulement O(n^-1/4) à partir de Xn (donc plus on avance, plus il est probable qu'on soit coincé dans un petit intervalle)
et donc Xn devrait converger presque sûrement."

Bon, c'est pas pour tout le monde quand mème.
Plus terre à terre et j'espère pas trop faux.
Pour réaliser de l'équiprobabilité sur toutes les combi,
je pouvais le faire en faisant que toutes les séries se baladent d'une extrémité à l'autre, les séries à faible a pouvant remonter progressivement et passer en fort a.Pas facile déjà intuitivement on avait déjà envie de dire non.
Là il se passe que ce sont les séries qui après un certain n vont rester là où elles ont converger,
et ce seront ces séries qui fabriqueront l'équiproba de proximité.
Lorsqu'on regarde la loi de proba à partir du premier déséquilibre 2a 1b,
on voit que les probas vont osciller entre le tout a avec une proba de 2/(n+2) et le tout b qui sera à 2/(n+1)(n+2),
à partir de là les séries issues de 2a 1b vont fabriquer plus d'équiprobables dans la zone des plus de a laissant les 1a 2b rééquilibrer l'ensemble.
Donc on se barre de l'équilibre, mais une droite d'angle 30 degrés avec les abscisses se barre de l'abscisse, elle ne va rejoindre l'ordonnée pour autant.

Et là se surajoute un autre élément.
Nous sommes pauvres humains de base, non mathématiciens, habitués à manipuler des quantités en terme additif-soustractif (a+b) mais beaucoup moins en terme de rapport a/b ou a/(a+b).
Or ce que l'on nomme convergence vers un rapport constant est une divergence, augmentation permanente du a-b.
Lorsque je suis à 6667 a ,après 10000 tirages, et que je fais une série de 10 gains de a de suite, je suis à 6677/10010=0,6670
Ceci rejoint le truc des séries de face et pileà 1/2, après un nombre de tirages certe monstrueux, je peux avoir une différence de F-P de 1 million, donc l'augmentation du nombre des tirages n' a rien fait pour laisser ou rapprocher le déséquilibre en terme de F-P,
sauf que en terme de F/P je dois ètre proche de 1 de façon assez monstrueuse, laissant le rapport 499/501=0,996 très très loin d'une série de 1000 qui a un seul f-p de différence.

Donc si c'est faux, ou si d'autres facteurs plus importants entrent en jeu,
et que l'on peut expliquer "intuitivement", je reste preneur.
En remerciant acoustica de m'avoir fait explorer ce truc.


J'ai pas parfaitement tout saisi (encore un peu endormi^^), mais je crois comprendre que tu te demandes pourquoi une différence entre le nombre de rouges et de noires, qui devrait être aplani, noyé dans un grand nombre de tirages, continue à influer sur la proportion relative. Tu te demandes pourquoi on n'a pas de rééquilibrage du fait de la loi des grands nombres. Je me suis posé toutes ces questions moi aussi, mes yeux bouffis de sommeil témoignent encore des ravages provoqués par ce problème sur mon organisme. Je ne suis pas spécialement matheux, mais ce que j'ai compris, c'est qu'au bout d'un moment, à cause des fluctuations et de façon hasardeuse, on arrive vers une certaine proportion. Et plus on a de boules, moins les nouvelles boules influent sur la proportion relative. Autrement dit, la loi des grands nombres s'applique de mieux en mieux, si bien qu'on tend à rajouter, pour n grand, la même proportion déjà existante, d'où la convergence.
Ce n'est pas ça qui veut dire qu'on a convergence uniforme ; pour ça il faut faire les calculs (cf fatal error).
Encore désolé de t'avoir repris et d'avoir dis des bêtises au début. Comme quoi en probas, il faut toujours être prudent !

beagle
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par beagle » 02 Mai 2012, 13:21

acoustica a écrit:Yo beagle,

J'ai dis pas mal de bêtises au début du fil, j'étais persuadé d'un truc, et... on n'est jamais trop prudent, on s'en rend toujours compte après coup. Sorry for that. :--:


bah no problème, j'étais loin de l'évolution du fil,
mais avec Doraki c'est toujours comme ça.
je le lis, je pige une fraction de sa réponse dans le meilleur des cas,
je reviens plusieurs jours après dire moins bien, ce que j'arrive à quasi relire exprimé mathématiquement par lui en début de fil.Ah, ah, ah!

pour convergence, il faut revenir à Doraki, rajouter aux explications la moyenne espérée après tel ou tel déséquilibre, et l'évolution de l'écart-type, qui laisse finalement peu de place aux variations,
QS Doraki qui exprime cela beaucoup mieux!
Mais avec mes petits moyens je pense qu'on peux sentir certains trucs,
d'ailleurs le PDF , le prof a fait cela à des lycéens, wahou!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

beagle
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par beagle » 02 Mai 2012, 13:27

"J'ai pas parfaitement tout saisi (encore un peu endormi^^), mais je crois comprendre que tu te demandes pourquoi une différence entre le nombre de rouges et de noires, qui devrait être aplani, noyé dans un grand nombre de tirages, continue à influer sur la proportion relative. "

non, non, moi je ne demande rien sur la différence entre
égaliser un F/P alors que le F-P évolue comme il veut
(dans le cas du pile-face)
c'est un truc que j'ai appris sur ce forum, nuage le premier à me l'avoir bien expliqué,
ce qui m'a soulagé énormément sur ce qu'était l'égalisation des F et P d'une série,

alors que je connais des gens sérieux qui en sont restés à obliger les séries de pile ou face,
à les obliger de se rappeler des tirages précédents pour les égaliser!
Non, de ce coté je pense aller bien!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Black Jack

par Black Jack » 02 Mai 2012, 14:38

acoustica a écrit:Ce document est vraiment très bien fait !

http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/LES_URNES_DE_POLYA_6.pdf


Intéressant.

On peut remarquer avec les essais fait dans ce lien (partie c statistiques), que, comme je l'avais avancé, le ratio entre les quantités de boules est le même au départ que la moyenne, sur un grand nombre d'expériences, de ce ratio (pondéré par la fréquence) au final.

j'ai calculé ces ratios pour les 3 cas (à partir des données statistiques du lien), on arrive à ceci :

Image

... qui confirme que le ratio entre le nombre de boules du départ se conserve au final (sur un grand nombre d'expériences).

beagle
Habitué(e)
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par beagle » 02 Mai 2012, 15:04

Oui, j'ai bien aimé ton premier message et celui-ci.
c'est intéressant.
Le seul bémol , c'est que la moyenne ne dit pas où sont concentrées les séries après convergence.
Et on aurait pu avoir une moyenne de 1/2 en départ a,b
en faisant tout converger vers le tout a et le tout b, non?

de la mème manière, mais attention , je n'ai rien calculé,
j'ai juste observé le PDF,
sur le 2a,2b, nous n'avons plus la distribution uniforme,
cela semble se gaussiser,
donc beaucoup de séries vont converger vers la moyenne,
et j'imagine que plus le ka, kb, plus le k est élevé et plus cela va se confirmer.

M'enfin les convergences, au demeurant très intéressantes,
doivent se plier à la loi de la loi de proba.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

nana32
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par nana32 » 02 Mai 2012, 15:13

excuser moi de vous déranger mais je n'arrive pas a crée de nouvelle discussion si vous pouviez me dire comment merci et je suis encore vraiment vraiment désolé de vous déranger

antonyme
Membre Relatif
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par antonyme » 02 Mai 2012, 16:10

nana32 a écrit:excuser moi de vous déranger mais je n'arrive pas a crée de nouvelle discussion si vous pouviez me dire comment merci et je suis encore vraiment vraiment désolé de vous déranger

Pour créer une nouvelle discussion il faut cliquer sur le bouton "Nouvelle discussion" :lol3: (en haut à gauche dans chaque section du forum)

 

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