Polynome de Legendre
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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pozor16
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par pozor16 » 01 Mai 2012, 09:51
Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'aide pour résoudre un problème sur les polynomes de Legendre(
est translaté à l'iintervalle [0,1] et normalisé).
Soit N(x) =
où
=
Je dois montrer que toutes les racines de N(x) sont réelles et distinctes (a étant réelle).
Quelqu'un peut-il me donner une piste?
Merci d'avance
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Maxmau
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par Maxmau » 01 Mai 2012, 10:54
pozor16 a écrit:Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'aide pour résoudre un problème sur les polynomes de Legendre(
est translaté à l'iintervalle [0,1] et normalisé).
Soit N(x) =
où
=
Je dois montrer que toutes les racines de N(x) sont réelles et distinctes (a étant réelle).
Quelqu'un peut-il me donner une piste?
Merci d'avance
Bj Applique "Rolle' en cascade
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cdav
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par cdav » 01 Mai 2012, 20:51
Maxmau a écrit:Bj Applique "Rolle' en cascade
Soit a1 , a2 , . . . , ap les racines dordres impairs de Ln appartenant à ];)1, 1[.
Soit Q = (X
a1 )(X
a2 ) . . . (X
ap ). La fonction t
Ln (t)Q(t) est continue,
1
de signe constant sur [;)1, 1] sans être la fonction nulle donc
1 Ln (t)Q(t) dt = 0.
Compte tenu de b) on a nécessairement p n puis p = n car le nombre de racines
ne peut excéder n.. De plus les racines a1 , a2 , . . . , an sont simples car la somme de
leurs multiplicités ne peut excéder n.
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