Système ...

[Lostounet]

Bonjour,

Voici un système d'équations que je n'ai pas su résoudre. Je l'ai trouvé en résolvant un exo lors des olympiades.

Le voici:




J'avais presque tout essayé...

[fatal_error]

salut,

la deuxieme égalité impose x=y ou x=-y

après tu remplaces dans la première puis ca doit bien se simplifier

[Lucas1995]

Bon j'ai essayé de le résoudre mais c'est pas facile ^^' alors je continue d'y réfléchir :lol3:
En attendant j'ai trouvé en tatonnant une solution (-1;0) qui m'est utile pour vérifier mes calculs.

[Lostounet]

salut,

la deuxieme égalité impose x=y ou x=-y

après tu remplaces dans la première puis ca doit bien se simplifier

!
Je suis bluffé et impressionné lol!





!

Et si je te fais le système:


?

[acoustica]

Bonjour,

Voici un système d'équations que je n'ai pas su résoudre. Je l'ai trouvé en résolvant un exo lors des olympiades.

Le voici:




J'avais presque tout essayé...

Dans le deuxième membre de l'équation, on a une fonction du type f(x)=f(y). Cette fonction est injective sur ]-infinity,0] et sur [0,+infinity[. C'est un peu comme l'équation que tu avais à résoudre l'autre fois. =)

[Sa Majesté]

salut,

la deuxieme égalité impose x=y ou x=-y

Hummm pas d'accord
x=0 et y=1 satisfont la deuxième équation

Par contre on peut l'écrire
(x²-1)²-(y²-1)² + x² - y² = 0
(x²+y²-2)(x²-y²) + x² - y² = 0
(x²-y²)(x²+y²-1) = 0
d'où x=y ou x=-y ou x²+y²-1=0 (on peut alors poser x=cos a et y = sin a)

[Lostounet]

Salut!

Merci Sa Majesté.
Et pour le deuxième système ? :we:

[Lostounet]

Up ! Personne ne veut m'aider ? :p

[Black Jack]

x²+(x²-1)² = y²+(y²-1)²
x² + x^4 + 1 - 2x² = y² + y^4 - 2y² + 1
x^4 - x² = y^4 - y²
x²(x²-1) = y²(y²-1)
x^4 - x² - (y^4 - y²) = 0

x² = [1 +/- V(1 + 4(y^4-y²))]/2
x² = [1 +/- V(4y^4-4y²+1)]/2
x² = [1 +/- (2y²-1)]/2

a)
x² = [1 + (2y²-1)]/2
x² = y²
A remettre dans (x²-1)(y²-1) = -xy
(x²-1)² = +/- x²

a1) x^4 - 2x² + 1 = x²
x^4 - 3x² + 1 = 0
x² = (3 +/- V5)/2
x = +/- V[(3 +/- V5)/2]
y = -/+ V[(3 +/- V5)/2]

a2) x^4 - 2x² + 1 = -x²
x^4 - x² + 1 = 0 ---> pas de solutions réelles.

b)
x² = [1 - (2y²-1)]/2
x² = 1 - y²
A remettre dans (x²-1)(y²-1) = -xy
-y²(y²-1) = +/- V(1-y²) * y

y = 0 ou y = +/-1 conviennent
y = 0 --> x = +/- 1
y = +/- 1 ---> x = 0

-y.V(y²-1) = +/- 1
y²(y²-1) = 1
y^4 - y² - 1 = 0 ---> pas de solutions réelles.
*****
Groupement des résultats:

Les solutions réelles sont :

x = - V[(3 +/- V5)/2] et y = V[(3 +/- V5)/2]
OU
x = V[(3 +/- V5)/2] et y = -V[(3 +/- V5)/2]
OU
x = 0 et y = -1
OU
x = 0 et y = 1
OU
x = 1 et y = 0
OU
x = -1 et y = 0

:zen:

[Sa Majesté]

Les solutions réelles sont :

x = - V[(3 +/- V5)/2] et y = V[(3 +/- V5)/2]
OU
x = V[(3 +/- V5)/2] et y = -V[(3 +/- V5)/2]
OU
x = 0 et y = -1
OU
x = 0 et y = 1
OU
x = 1 et y = 0
OU
x = -1 et y = 0

:zen:

Donc tu trouves pareil que moi
A noter que V[(3 + V5)/2] = (V5+1)/2 et V[(3 - V5)/2] = (V5-1)/2, formes auxquelles j'arrive directement

[manoa]

x²+y²-1=0 (on peut alors poser x=cos a et y = sin a)

Salut, une petite question : comment prouver que (0,+-1), (+-1,0) sont les seuls à convenir , alors que x²+y²=1 admet bien plus ?

[Sa Majesté]

Salut, une petite question : comment prouver que (0,+-1), (+-1,0) sont les seuls à convenir , alors que x²+y²=1 admet bien plus ?

Hummm ... ce ne sont pas les seules solutions (voir le post de Black Jack qui les énumère toutes)

[manoa]

Hummm ... ce ne sont pas les seules solutions (voir le post de Black Jack qui les énumère toutes)

je parlais des solutions qui proviennent de x²+y²=1 , (0,+-1), (+-1,0) sont les seuls à vérifier le système de départ, alors que cette équation admet bien d'autres solutions .. comment le prouver ?

[Lostounet]

Existe-t-il des méthodes de résolution générales pour des systèmes non linéaires?

[Black Jack]

2)

x²+(x²-1)² = y²+(y²-1)² + 6
x² + x^4 + 1 - 2x² = y² + y^4 - 2y² + 1 + 6
x^4 - x² = y^4 - y² + 6
x^4 - x² - (y^4 - y² + 6) = 0

x² = [1 +/- V(1 + 4(y^4 - y² + 6))]/2

x² = [1 +/- V(4y^4 - 4y² + 25)]/2

4y^4 - 4y² + 25 > 1 pour tout y réels.

--> x² = [1 + V(4y^4 - 4y² + 25)]/2 est le seul cas à prendre en compte.

Remis dans (x²-1)(y²-1) = -xy -->

[(1 + V(4y^4 - 4y² + 25))/2 - 1]*(y²-1) = +/- y.V[(1 + V(4y^4 - 4y² + 25))/2]

Qui donne (à la hussarde, avec une calculette graphique). :ptdr:

y = +/- 0,6524 ou +/- 1,4513

y = +/- 0,6524 ---> x = -/+ 1,7177
y = +/- 1,4513 ---> x = -/+ 1,8518

:zen:

[Lostounet]

Mais comment tu y arrives !?!
:ptdr:

x² = [1 +/- V(1 + 4(y^4 - y² + 6))]/2

C'est donc ça l'astuce en fait, le discriminant...
Je vais essayer de digérer/vérifier tous ces calculs. Merci beaucoup !!!

Décidément, les gens savent tout résoudre sur ce forum