Formes quadratiques (L2)

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Manitwoo
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Formes quadratiques (L2)

par Manitwoo » 29 Avr 2012, 13:08

Bonjour,

En introduction au cours sur les formes quadratiques et le théorème d'inertie de sylvester, nous avons reçu un exercice préparatoire qui est le suivant :

Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique

Le problème est que l'on ne nous a jamais appris à résoudre ce genre d'exercices, si quelqu'un pourrait m'indiquer la méthode.

Je vous remercie.



ev85
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par ev85 » 29 Avr 2012, 13:14

Manitwoo a écrit:Bonjour,

En introduction au cours sur les formes quadratiques et le théorème d'inertie de sylvester, nous avons reçu un exercice préparatoire qui est le suivant :

Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique

Le problème est que l'on ne nous a jamais appris à résoudre ce genre d'exercices, si quelqu'un pourrait m'indiquer la méthode.

Je vous remercie.

Tu n'as jamais vu la méthode de Gauss ???

Manitwoo
Messages: 4
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par Manitwoo » 03 Mai 2012, 15:56

Bonsoir et merci d’avoir répondu.

Non malheureusement on doit se débrouiller tout seul…
Je me suis renseigné sur la méthode de Gauss et j’y arrive sur des exemples simples :
cependant j’ai un doute quant à mon exercice .

Voilà ce que je trouve pour la première étape:


Ce qui me semble étrange car j'ai un "3" et un "-3" en dehors des "carrés", cela est il possible ?

Au final, en continuant de cette façon je trouve


En développant, je retombe sur la forme de l'énoncé.
Il me semble avoir compris que la signature correspond à la paire formée des termes positifs/négatifs et le rang correspondrait au nombre de termes, j'aurai donc rang(4,5) et signature 9 ?

Je vous remercie encore de me consacrer une partie de votre temps.

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fatal_error
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par fatal_error » 03 Mai 2012, 20:46

nan tas po compris
3c^2-3b^2+2ab+4ac+2ad-4bd-2cd
tu veux faire péter c.
donc (c-qqch)^2 + f(a,b)
ou f(a,b) ca contient plus aucun terme en c
donc tu look les termes en c et t'as
c^2
4ac-2cd

là, tu utilises le fait que dans la formule (x+y)^2=x^2 + 2xy + qqch qui depend pas de x (c'est y^2...)
bon ben faut que tu démerdes pour que x^2 ca vaut 3c^2 et 2xy=4ac-2cd
donc tu facto deja le 3
3(c-qqch)^2 + f(a,b)
et dans qqch t'enquilles le double produit
qqch=(2a-d)/3
et comme quand tu developpes, t'as normalement le double produit qui vaut 3*[ 2*c*(2a-d)/3 ] et ca devrait te donner 4ac-2cd (ou sinon ben t'as compris et tu me corriges)

puis apres tu fais pareil pour éliminer a, puis b
la vie est une fête :)

 

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