[MPSI] Injectivité <=> Surjectivité

[Euler07]

Bonjour

Voici l'énoncé : Soient E un ensemble et f : E ------> E telles que fofof = f
Montrer que f est Injective si et seulement si f est surective

La correction :



J'ai du mal à visualisé avec des diagramme de Venn, surtout c'est le fait qu'on par du même ensemble et on arrive au même ensemble. Il dise que x = f(y) appartient à E (mais quel E, ensemble de départ ou d'arrivé ?)
Ensuite pour montrer l'injectivité, on prend x,x' de E ok (ensemble de départ), fof surjective alors il existe a,a' de E tel que x = ......... et x'=........ dans ce cas x sont est dans l'ensemble d'arrivé ou de départ ?

:livre:

[Doraki]

Je comprends pas pourquoi tu cherches à croire qu'il y a plusieurs ensembles E alors qu'il y en a qu'un seul.

[Euler07]

Oui y en bien un seul. C'est surtout savoir quand on le prend pour l'ensemble de départ ou d'arrivé

:livre:

[Doraki]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. A chaque fois qu'on mentionne E, tu veux lui attribuer un rôle d'ensemble de départ ou d'ensemble d'arrivée ? Et si on est en train de faire un truc qui n'a aucun rapport ?

[Euler07]

Pour la première phrase. Soit y appartenant à E
T'es bien d'accord que y est un élément de l'ensemble d'arrivé dans l'application qui va de E à E ?

:livre:

[Doraki]

Où est-ce que dans "soit y un élément de l'ensemble E" tu lis un truc en rapport avec l'application f (et donc un indice qui dirait si tu dois comprendre E comme ensemble d'arrivée de f ou ensemble de départ de f) ???

[Euler07]

Non mais comme on doit montrer la surjectivité de f

:livre:

[Doraki]

Donc, tu penses :

On suppose f injective, c'est à dire "pour tout x et y dans E (étiquette départ), si f(x) = f(y) alors x=y".
On souhaite montrer que f est surjective, c'est à dire "pour tout y de E (étiquette arrivée), il existe x dans E (étiquette départ) tel que y=f(x)".

Soit y dans E (étiquette arrivée).
f( f(f(y)) ) = f(y), donc en utilisant l'injectivité avec f(f(y)) et y qui sont dans E (étiquette départ), f(f(y)) = y. Donc x=f(y) est bien un élément de E (étiquette départ) tel que f(x)=y et on a bien montré que f est surjective.

?

[Euler07]

Premier paragraphe oui, c'est comme cela on montre
La deuxième euh je pense pas car y est à la fois dans l'ensemble de départ et d'arrivé

:livre:

[Doraki]

En quoi c'est un problème d'être à la fois dans E et dans E ?

[Euler07]

Oui c'est vrai aucune différence. Donc pour y de E (départ) il est aussi dans E (arrivé) ?

:livre:

[Doraki]

l'étiquette départ/arrivée n'a AUCUNE signification mathématique.
Je l'ai mise juste pour indiquer la place de E dans l'utilisation de l'injectivité/la surjectivité.
C'est tout. Au mieux c'est un truc pour t'aider à comprendre que oui tu es en train de prouver la surjectivité et que oui tu as bien utilisé l'injectivité.

Donc oui, comme E = E, si y est dans E, alors y dans E. Je vois pas pourquoi tu veux te compliquer la vie.

[Euler07]

D'accord merci

:livre:

[yos]

On peut généraliser :
avec injective surjective) .