Soit f une fonction définie, continue et à valeurs dans
Il faut déterminer l'ensemble des fonctions qui satisfaissent à l'inégalité suivante :
Bon courage. ( pour info j'ai même pas toutes les solutions )
Inéquation fonctionnelle
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Inéquation fonctionnelle
par lol37 » 22 Avr 2012, 17:36
Salut !
Soit f une fonction définie, continue et à valeurs dans
Il faut déterminer l'ensemble des fonctions qui satisfaissent à l'inégalité suivante :
 \le \frac{f(x)+f(y)}{f(x)f(y)})
et ce pour tout réels x et y.
Bon courage. ( pour info j'ai même pas toutes les solutions )
Soit f une fonction définie, continue et à valeurs dans
Il faut déterminer l'ensemble des fonctions qui satisfaissent à l'inégalité suivante :
Bon courage. ( pour info j'ai même pas toutes les solutions )
par Dinozzo13 » 26 Avr 2012, 05:11
Salut !
Avant tout, cette inéquation est définie si quel que soit x réel, f(x) est non nul.
On peut remarquer que cette inéquation équivaut à\le \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{f(y)})
.
Supposons
constante telle que =a)
.
Dans ce cas, on a
, i.e. 
.
Donc l'ensemble des fonctions constantes pour .
conviennent.
Si
alors \le \frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(0)})
.
'faudrait p't'être voir avec f une fonction de la forme a/x ou encore une homographie.
J'essaierai de poursuivre ce soir :++:
Avant tout, cette inéquation est définie si quel que soit x réel, f(x) est non nul.
On peut remarquer que cette inéquation équivaut à
Supposons
Dans ce cas, on a
Donc l'ensemble des fonctions constantes
conviennent.
Si
'faudrait p't'être voir avec f une fonction de la forme a/x ou encore une homographie.
J'essaierai de poursuivre ce soir :++:
par lol37 » 27 Avr 2012, 09:39
Merci de la réponse !
On peut même dire que f(x) est de signe constant ( th des valeurs intermédiaires )
edit : j'pense avoir résolu entierement le problème, c'est pas aussi difficile que ca en fait
On peut même dire que f(x) est de signe constant ( th des valeurs intermédiaires )
edit : j'pense avoir résolu entierement le problème, c'est pas aussi difficile que ca en fait
par acoustica » 27 Avr 2012, 10:27
lol37 a écrit:Merci de la réponse !
On peut même dire que f(x) est de signe constant ( th des valeurs intermédiaires )
edit : j'pense avoir résolu entierement le problème, c'est pas aussi difficile que ca en fait
Coucou. =) Pourrais-tu poster ta solution, j'ai séché... Merciiii !
par lol37 » 27 Avr 2012, 11:10
ma solution est surement fausse, j'ai supposé que f(x) est de la forme f(x) = x pour arriver à une inéquation du second degré et la suite en découle... ( deux familles de fonctions dont l'une est bornée, l'autre majorée )
par Judoboy » 27 Avr 2012, 11:29
lol37 a écrit:ma solution est surement fausse, j'ai supposé que f(x) est de la forme f(x) = x
Ah bah oui si tu poses f(x)=x ça va vite c'est sur, mais tu rates probablement quelques solutions.
par lol37 » 27 Avr 2012, 11:32
Judoboy a écrit:Ah bah oui si tu poses f(x)=x ça va vite c'est sur, mais tu rates probablement quelques solutions.
dans le cas de l'inégalité stricte j'obtiens un encadrement de f(x) qui ne peut être "agrandi" donc bon...
par Zweig » 27 Avr 2012, 14:15
On peut déjà montrer que  = \sqrt{2})
(en supposant f(0) > 0)
 \leq \frac{2}{f(x)})
Par récurrence,
 \leq \displaystyle \frac{2}{f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right)})
En faisant tendre n vers l'infini, on obtient par continuité,
^2 \leq 2)
On pose = \frac{1}{f(x)})
Alors l'équation se réécrit, avec x = y,
 \geq \frac{1}{2g(2x)})
De même,
^2 \geq \frac{1}{2})
Soit \leq 2)
Donc = 2)
, soit
Par récurrence,
En faisant tendre n vers l'infini, on obtient par continuité,
On pose
Alors l'équation se réécrit, avec x = y,
De même,
Soit
Donc
par acoustica » 27 Avr 2012, 14:40
Judoboy a écrit:Ah bah oui si tu poses f(x)=x ça va vite c'est sur, mais tu rates probablement quelques solutions.
C'est pire que ça, la fonction identité n'est même pas solution. On ne cherche pas les réels qui vérifient l'inéquation, on cherche les fonctions pour lesquelles ça marche toujours. Or, on n'a pas toujours x*y inférieur ou égal à 1.
f étant continue et ne s'annule jamais, elle est soit positive, soit négative. On a donc deux cas à traiter.
par acoustica » 27 Avr 2012, 15:45
Dinozzo13 a écrit:Salut !
Avant tout, cette inéquation est définie si quel que soit x réel, f(x) est non nul.
On peut remarquer que cette inéquation équivaut à
Supposons
Dans ce cas, on a
Donc l'ensemble des fonctions constantes
conviennent.
Si
'faudrait p't'être voir avec f une fonction de la forme a/x ou encore une homographie.
J'essaierai de poursuivre ce soir :++:
Ce ne serait pas plutôt a dans
par Dinozzo13 » 28 Avr 2012, 21:43
non non :
a<2/a <==> (a²-2)/a<0
Fais un tableau de signe et tu verras.
a<2/a <==> (a²-2)/a<0
Fais un tableau de signe et tu verras.
par lol37 » 29 Avr 2012, 11:53
trouvé les fonctions 
et 
il semble qu'il n'y a que des solutions constantes dans le cas de l'égalité... ( montré par l'absurde )
il semble qu'il n'y a que des solutions constantes dans le cas de l'égalité... ( montré par l'absurde )
par acoustica » 29 Avr 2012, 14:25
lol37 a écrit:trouvé les fonctions
il semble qu'il n'y a que des solutions constantes dans le cas de l'égalité... ( montré par l'absurde )
Yop yop, tu pourrais publier ta démo pliz ? =)
par lol37 » 30 Avr 2012, 12:06
Comment le dit bien Dinozzo13, on arrive dans le cas de l'égalité l'équation =\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(0)})
, en posant =\sqrt{2})
on a =\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{\sqrt{2}})
et en simplifiant le dénominateur =\frac{1}{f(x)}+\frac{\sqrt{2}}{2})
f(x) ne doit donc pas sannuler sur, on multiplie par f(x), on obtient :
^2=1+\frac{\sqrt{2}f(x)}{2})
et en mettant tout du même coté ^2-\frac{\sqrt{2}f(x)}{2}-1=0)
Or)
est bien un réel, supposons que f est une fonction non constante et continue qui soit solution
il existe donc un réel
( )
est aussi un réel ), tel que l'équation ^2-\frac{\sqrt{2}f(x_{0})}{2}-1=0)
ne soit pas vérifiée : contradiction avec l'équation de départ qui doit être VRAIE pour tout x dans
f(x) ne doit donc pas sannuler sur
Or
il existe donc un réel
par lol37 » 05 Mai 2012, 14:14
Ce que j'ai fait est vrai dans le cas  > 0)
quand f(x) est négatif ca reste à voir
par Dinozzo13 » 27 Mai 2012, 06:21
Salut !
Je viens de relire tout ça et en résumé, quel est l'ensemble des solutions ?
Je viens de relire tout ça et en résumé, quel est l'ensemble des solutions ?
par Matt_01 » 27 Mai 2012, 19:21
J'avais regardé vite fait et y a moyen que ce soit l'ensemble des fonctions bornées en valeur absolue par racine de 2.
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