Ouverts

[Rifl3]

Bonjour, j'ai a traiter cet exo, j'ai réussi les 3 premières questions, mais je n'arrive pas le question 2.
Je n'arrive pas à trouver un ouvert de qui ne soit pas un ouvert de Fin, je vois même pas ce que peut être un ouvert dans cet espace vectoriel
Auriez vous une idée svp?? Merci beaucoup

[girdav]

Tu peux penser à une suite de fonctions telle que , f est affine sur et nulle sur .

[Rifl3]

Je n'ai pas trop compris ta réponse, cela définit un ouvert mais pas sur ?? :/

[marwaneabdelbari]

[quote="Rifl3"]Je n'ai pas trop compris ta réponse, cela définit un ouvert mais pas sur ?? :/[/QUOT
salut
pour le 4 ème question il suffit d'utilise la négation de la définition de- deux norme équivalentes-, vous devez travailler avec des inégalité.

[Rifl3]

On ne peut pas répondre à la question à l'aide des ouverts?

[girdav]

Si on peut mais ce n'est pas nécessaire.

[Rifl3]

Si on peut mais ce n'est pas nécessaire.

Comment faire, si je veux utiliser cette méthode?? Je n'ai pas réussi

[girdav]

Quelle est la définition de norme équivalentes ?

[Rifl3]

Quelle est la définition de norme équivalentes ?

Si les deux normes sont globalement dominées l'une et l'autre.
Non, mais ce que je souhaiterais, c'est trouver un ouvert de qui ne soit pas un ouvert de

[Maxmau]

Si les deux normes sont globalement dominées l'une et l'autre.
Non, mais ce que je souhaiterais, c'est trouver un ouvert de qui ne soit pas un ouvert de

Bj
F l'ensemble des fonctions f tq Pinf(f) =1. F est un fermé pour la norme Pinf
Je définis une suite (fn) de fonctions de la façon suivante (exemple de Girdav légèrement modifié):
fn(0) =1, fn(x) =0 pour x supérieur ou égal à 1/n , fn affine sur [0,1/n]
(fn) est une suite d'éléments de F qui converge vers zéro au sens de la norme P1 (donc vers un élément en dehors de F)
F n'est donc pas fermé pour la norme P1
le complémentaire de F est donc un ouvert pour la norme Pinf mais n'est pas un ouvert pour la norme P1

[Rifl3]

Ok, merci,
Et sinon, j'ai une autre question sans rapport ^^.


Il y a juste la norme subordonnée de Phi que je n'arrive pas à déterminer, j'ai juste réussi à démontrer qu'elle était inférieure à 1.
Auriez vous une idée svp?
Merci

[Maxmau]

Ok, merci,
Et sinon, j'ai une autre question sans rapport ^^.


Il y a juste la norme subordonnée de Phi que je n'arrive pas à déterminer, j'ai juste réussi à démontrer qu'elle était inférieure à 1.
Auriez vous une idée svp?
Merci

Ne vois tu pas un élément x = (xn) de l² tq |phi(x)| = ||x|| ? (autre que zéro)

[Rifl3]

Ne vois tu pas un élément x = (xn) de l² tq |phi(x)| = ||x|| ? (autre que zéro)

Ah oui, je crois que je m'étais embrouillé.
Si je prend la suite x=1/n et pour n=1, on a |Phi(x)|=1 donc ||Phi||>1 (sup ou égal) donc ||Phi||=1 C'est ça?
Moi je cherchais, une suite de carré sommable tel que pour tout n on ai |Phi(x)|=1

[Maxmau]

Ah oui, je crois que je m'étais embrouillé.
Si je prend la suite x=1/n et pour n=1, on a |Phi(x)|=1 donc ||Phi||>1 (sup ou égal) donc ||Phi||=1 C'est ça?
Moi je cherchais, une suite de carré sommable tel que pour tout n on ai |Phi(x)|=1

je comprends pas bien ce que tu as fait!?
Dans la définition de phi n est donné.
Cherche x non nul dans l² tq |Phi(x)|=||x||. Tu auras alors: |Phi(x)|/||x|| = 1.
( prends x ds l² tq xi=0 pour tout i sauf xn=1)

[Rifl3]

Ah ok, je m'étais bien embrouillé en effet. ^^
C'est bon j'ai compris maintenant. ^^
Merci

Il me reste une dernière question.
Je dois démontrer si ces deux ensembles I et J de R : I=[-2,2]U[3,+oo[ et J=]0,1[U]-oo,2] sont complets ou non.
Je choisis donc de montrer si ils sont fermés ou non vu que nous sommes dans R, et donc de montrer si tout les points sont adhérent a leurs ensemble
Pour I et J ils sont tous adhérent, mais je voulais juste savoir, pour la justification. Est-ce qu'il faut dire par exemple pour I que +oo est adhérent à I? Ou alors il faudrait donner cette justification que si on avait I=[-2,2]U[3,+oo]???

[Maxmau]

Ah ok, je m'étais bien embrouillé en effet. ^^
C'est bon j'ai compris maintenant. ^^
Merci

Il me reste une dernière question.
Je dois démontrer si ces deux ensembles I et J de R : I=[-2,2]U[3,+oo[ et J=]0,1[U]-oo,2] sont complets ou non.
Je choisis donc de montrer si ils sont fermés ou non vu que nous sommes dans R, et donc de montrer si tout les points sont adhérent a leurs ensemble
Pour I et J ils sont tous adhérent, mais je voulais juste savoir, pour la justification. Est-ce qu'il faut dire par exemple pour I que +oo est adhérent à I? Ou alors il faudrait donner cette justification que si on avait I=[-2,2]U[3,+oo]???

+oo n'est pas un réel mais simplement un symbole commode pour noter un intervalle non borné.
[-2,2] et [3,+oo[ sont 2 intervalles fermés de R (bien connu, ce n'est pas à redémontrer). leur réunion I est donc un fermé. Comme R est complet, un fermé de R est complet. I est donc complet
Pour J:
la suite xn = 1/n est une suite d'éléments de J qui converge (dans R) vers zéro. C'est donc une suite de Cauchy d'éléments de J qui ne converge pas dans J ( sa limite est en dehors de J). J n'est pas complet.

Une remarque sur une définition d'un fermé: un fermé est une partie qui contient tous ses points adhérents

[Rifl3]

Parce que dans notre cours nous avions définit que +oo était adhérent à un ensemble ssi l'ensemble n'était pas bornée ssi il existait une suite de l'ensemble qui tende vers +oo. Seulement nous l'avions mis entre guillemet que +oo était adhérent à l'ensemble. C'est donc un abus alors?
Mais pourtant J=]0,1[U]-oo,2[=]-oo,2] normalement, non?? Car ]0,1[ C ]-oo,2]
Or ]-oo,2] est un fermé.

[Judoboy]

Parce que dans notre cours nous avions définit que +oo était adhérent à un ensemble ssi l'ensemble n'était pas bornée ssi il existait une suite de l'ensemble qui tende vers +oo. Seulement nous l'avions mis entre guillemet que +oo était adhérent à l'ensemble. C'est donc un abus alors?
Mais pourtant J=]0,1[U]-oo,2[=]-oo,2] normalement, non?? Car ]0,1[ C ]-oo,2]
Or ]-oo,2] est un fermé.

C'est vrai que c'est pas super clair la terminologie pour la droite réelle achevée.

En gros on considère l'ensemble R U {-oo ; +oo}. +oo et -oo ne sont toujours pas des nombres, mais servent juste à étendre la notion de convergence : maintenant une suite qui tend vers +oo ou -oo sera considérée convergente.

Dans cet ensemble R est ouvert mais pas fermé, et le plus petit fermé qui contient R c'est R U {-oo ; +oo}, donc on l'appelle l'adhérence de R. A part ça on garde la même topologie sur R (mêmes voisinages), et les voisinages des éléments +oo et -oo sont les ensembles qui contiennent un intervalle [-oo;a[ ou ]b;+oo] pour a et b réels.



L'intérêt c'est que R U {-oo ; +oo} est compact, contrairement à R.

Bref je sais pas si j'ai été très clair :/

[Rifl3]

Ah, car dans notre cours, nous avons considéré que tout evn était à la fois ouvert et fermé, ce qui est donc le car de R qui est ouvert et fermé (tout comme le vide). Fin après ce n'est peut-être qu'une question de convention, et je préfère prendre la convention du programme pour pas me planter aux concours ^^. Par contre nous avons définit que tout evn n'est pas un compact (sauf s'il est réduit à 0).
Mais sinon pour J, normalement c'est un fermé non? d'après ma "démo" (mon argument) précédente.

[Judoboy]

J'ai jamais parlé d'EVN, les éléments +oo et -oo sont difficilement compatibles avec une structure d'EV.

Par contre je sais pas où tu as vu qu'un evn était ouvert et fermé ; dans lui-même c'est évident, mais un sous-espace vectoriel c'est un fermé en général dans l'espace vectoriel qui le contient, pas de raison d'être ouvert (regarde le cas d'une droite dans le plan).

J tel que tu l'as donné est effectivement fermé et donc complet, mais ton énoncé est bizarre parce que te faire étudier l'union de 2 intervalles dont l'un est inclus dans l'autre ça n'a pas grand intérêt. Maxmau a du lire J = [-oo;-2] U ]0;1[, qui n'est pas complet car tu peux faire une suite de Cauchy d'éléments de J qui ne converge pas (xn=1/n par exemple).