Point critique d'une fonction de deux variables

par **Joe Black** » 22 Avr 2012, 11:32

Bonjour.
Je bloque sur un exercice d'un DM (prépa ENS Cachan D2) depuis plusieurs heures et j'aimerais solliciter votre aide.

Pour l'instant, c'est les questions 5 et 6 qui me posent problème mais je recopie l'ensemble de l'exercice au cas où la solution réside dans une question antérieure.

SUJET

On considère la fonction f définie pour tout réel x par :

ainsi que la fonction g des deux variables réelles x et y définie par :

1) Etudier les variations de f et donner les limites de f(x) lorsque x tend vers +infini et -infini

2) Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de -infini et donner la position de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote.

3) Déduire des variations de f l'existence d'un unique réel a, élément de l'intervalle [-2;-1] tel que f(a)=0 (on rappelle que e~=2,7)

4) Déterminer le seul point critique de g, c'est à dire le seul couple de R², en lequel g est susceptible de présenter un extremum.

5) Vérifier que g présente un extremum relatif b en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum ?

6) Montrer que l'on a 4b+a²-1=0

L'ETAT DE MES RECHERCHES

1) f est strictement croissante sur R, les limites demandées sont respectivement +infini et -infini.

2) L'asymptote oblique a pour équation y=x+1 et elle est toujours en dessous de Cf

3) On utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver ce qui est demandé.

4) J'ai déterminé les coordonnées du gradient :

et

et trouvé qu'elles s'annulaient les deux en (a;0).

5) Les choses se compliquent. J'ai calculé toutes les dérivées secondes de g :

J'aimerais trouver une matrice hessienne définie positive ou négative en (a;0) (condition suffisante pour démontrer l'existence d'un maximum/minimum en ce point). Mais je trouve qu'elle est semi-définie positive car en (a;0) :

;

et le déterminant vaut

Or d'après mon cours, un gradient nul en un point et une matrice hessienne semi-définie positive en ce point n'est pas une condition suffisante pour démontrer qu'il s'agit d'un minimum local...
Ai-je fait une erreur quelque part ? Y a-t-il quelque chose qui m'échappe ?

6) En partant de f(a)=0 et de g(a;0)=b, je n'arrive pas à obtenir l'égalité souhaitée.
Que dois-je faire ? Comment dois-je procéder ?

Merci par avance pour votre aide.

Joe Black

par **Manny06** » 22 Avr 2012, 13:45

Joe Black a écrit:Bonjour.
Je bloque sur un exercice d'un DM (prépa ENS Cachan D2) depuis plusieurs heures et j'aimerais solliciter votre aide.

Pour l'instant, c'est les questions 5 et 6 qui me posent problème mais je recopie l'ensemble de l'exercice au cas où la solution réside dans une question antérieure.

SUJET

On considère la fonction f définie pour tout réel x par : ainsi que la fonction g des deux variables réelles x et y définie par :

1) Etudier les variations de f et donner les limites de f(x) lorsque x tend vers +infini et -infini

2) Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de -infini et donner la position de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote.

3) Déduire des variations de f l'existence d'un unique réel a, élément de l'intervalle [-2;-1] tel que f(a)=0 (on rappelle que e~=2,7)

4) Déterminer le seul point critique de g, c'est à dire le seul couple de R², en lequel g est susceptible de présenter un extremum.

5) Vérifier que g présente un extremum relatif b en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum ?

6) Montrer que l'on a 4b+a²-1=0

L'ETAT DE MES RECHERCHES

1) f est strictement croissante sur R, les limites demandées sont respectivement +infini et 0.

2) L'asymptote oblique a pour équation y=x+1 et elle est toujours en dessous de Cf

3) On utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver ce qui est demandé.

4) J'ai déterminé les coordonnées du gradient : et et trouvé qu'elles s'annulaient les deux en (a;0).

5) Les choses se compliquent. J'ai calculé toutes les dérivées secondes de g :

J'aimerais trouver une matrice hessienne définie positive ou négative en (a;0) (condition suffisante pour démontrer l'existence d'un maximum/minimum en ce point). Mais je trouve qu'elle est semi-définie positive car en (a;0) : ; et le déterminant vaut
Or d'après mon cours, un gradient nul en un point et une matrice hessienne semi-définie positive en ce point n'est pas une condition suffisante pour démontrer qu'il s'agit d'un minimum local...
Ai-je fait une erreur quelque part ? Y a-t-il quelque chose qui m'échappe ?

6) En partant de f(a)=0 et de g(a;0)=b, je n'arrive pas à obtenir l'égalité souhaitée.
Que dois-je faire ? Comment dois-je procéder ?

Merci par avance pour votre aide.

Joe Black

pour la relation de la 6) enremplaçant e^a par -(a+1)/2 dans g(a)=b on obtient bien la relation demandée

par **Manny06** » 22 Avr 2012, 13:57

Manny06 a écrit:pour la relation de la 6) enremplaçant e^a par -(a+1)/2 dans g(a)=b on obtient bien la relation demandée

quelle est la difference entre define positive et semi-definie positive ?

par **Joe Black** » 22 Avr 2012, 22:27

Manny06 a écrit:quelle est la difference entre define positive et semi-definie positive ?

Dans le cas d'une matrice hessienne définie positive les inégalités sont strictes.

Merci de m'avoir invité à revoir cette définition. Je ne m'en serais pas aperçu autrement.
Et merci pour vos éclaircissements concernant la question 6.

Bonne soirée.

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