Fonction réelle

[M@thIsTheBest]

Bonjour,
voilà l'énoncé:
soit P un polynôme à coefficients entiers.Pour 4 entiers distincts a,b,c et d on a P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=9
Montrer qu'il n’existe aucun entier x tel que P(x)=16.

[Matt_01]

P-9 admet 4 racines distinctes a,b,c et d :
P(X) = 9 + (X-a)(X-b)(X-c)(X-d)Q(X) et alors Q est à coefficient entier car P-9 et (X-a)(X-b)(X-c)(X-d) le sont, et le dernier est unitaire.
P(e) = 16 implique 7 = (e-a)(e-b)(e-c)(e-d)Q(e) avec Q(e) entier.
Ainsi, {(e-a);(e-b);(e-c);(e-d)} est inclus dans {-1;1;7} ou {-1;1;-7}
Par le lemme des tiroirs, deux ont la même valeur (qui ne peut être 7 ou -7) et donc valent 1 ou -1, ce qui implique a,b,c et d non distincts ...

[M@thIsTheBest]

P-9 admet 4 racines distinctes a,b,c et d :
P(X) = 9 + (X-a)(X-b)(X-c)(X-d)Q(X) et alors Q est à coefficient entier car P-9 et (X-a)(X-b)(X-c)(X-d) le sont, et le dernier est unitaire.
P(e) = 16 implique 7 = (e-a)(e-b)(e-c)(e-d)Q(e) avec Q(e) entier.
Ainsi, {(e-a);(e-b);(e-c);(e-d)} est inclus dans {-1;1;7} ou {-1;1;-7}
Par le lemme des tiroirs, deux ont la même valeur (qui ne peut être 7 ou -7) et donc valent 1 ou -1, ce qui implique a,b,c et d non distincts ...

Ta démonstration est bien faite, mais juste une petite question: j'ai une idée sur le principe de tiroirs mais c'est quoi la lemme de tiroirs ? (en tout cas j'ai compris ta démonstration, merci)... :zen:

[Matt_01]

En gros : Si t'as au moins n+1 chaussettes à ranger dans n tiroirs, tu sais qu'un certain tiroir aura au moins 2 chaussettes. C'est évident mais cela peut être très efficace ;)

[M@thIsTheBest]

En gros : Si t'as au moins n+1 chaussettes à ranger dans n tiroirs, tu sais qu'un certain tiroir aura au moins 2 chaussettes. C'est évident mais cela peut être très efficace

Bon, merci :zen: .