Fonction gamma

[Rifl3]

Bonjour,
alors j'ai deux problèmes, voici l'exo :


C'est pour la question 3, imaginons qu'ils me demandent juste de démontrer la continuité.
J'ai un problème pour démontrer que pour tout segment S=[a,b] la fonction f(x,t)=e(-t)*t^(x-1) est majorée par une fonction intégrable g.
J'y arrive si t€]0,+oo[ et je trouve :
g(t)=f(a,t) si t€]0,1]
f(b,t) si t€[1,+oo[

Mais si t vaut 0, la fonction f n'est pas définie non?? Ou alors on prend f(x,0)=1 si x=1 et f(x,0)=0 sinon???
Alors la fonction g vaudrait :
g(t)=f(a,t)+1 si t€[0,1]
f(b,t) si t€[1,+oo[.
C'est ça???



J'ai un autre problème pour démontrer que gamma est infiniment derivable.
J'utilise le th de leibniz pour des dérivées successives. Je note fn(x,t) la dérivée nième de f(x,t) selon t
Il faut donc que je démontre que fn(x,t) est intégrable sur ]0,1], et la est mon problème.
Dans mon cours, le prof a fait la demo suivante.

Mais comment démontrer que ??? Et j'ai fait le test sur la calculatrice avec x=1 et n=2 et je trouve que ça tend vers +oo.

[geegee]

Bonjour,
alors j'ai deux problèmes, voici l'exo :


C'est pour la question 3, imaginons qu'ils me demandent juste de démontrer la continuité.
J'ai un problème pour démontrer que pour tout segment S=[a,b] la fonction f(x,t)=e(-t)*t^(x-1) est majorée par une fonction intégrable g.
J'y arrive si t€]0,+oo[ et je trouve
g=f(a,.) si t€]0,1]
f(b,.) si t€[1,+oo[
Mais si t vaut 0, la fonction f n'est pas définie non?? Ou alors on prend f(x,0)=1 si x=1 et f(x,0)=0 sinon???
Alors la fonction g vaudrait :
g=f(a,.)+1 si t€[0,1]
f(b,.) si t€[1,+oo[.
C'est ça???

J'ai un autre problème pour démontrer que gamma est infiniment derivable.
J'utilise le th de leibniz pour des dérivées successives. Je note fn(x,t) la dérivée nième de f(x,t) selon t
Il faut donc que je démontre que fn(x,t) est intégrable sur ]0,1], et la est mon problème.
Dans mon cours, le prof a fait la demo suivante.

Mais comment démontrer que ??? Et j'ai fait le test sur la calculatrice avec x=1 et n=2 et je trouve que ça tend vers +oo.

Bonjour,

T'(x)=integrale(0;+infini)(e^-t*t^x-2)dt

[Maxmau]

Bj
"J'ai un problème pour démontrer que pour tout segment S=[a,b] la fonction f(x,t)=e(-t)*t^(x-1) est majorée par une fonction intégrable g."
Majore pour t entre 0 et 1 puis pour t supérieur à 1

[Rifl3]

Bj
"J'ai un problème pour démontrer que pour tout segment S=[a,b] la fonction f(x,t)=e(-t)*t^(x-1) est majorée par une fonction intégrable g."
Majore pour t entre 0 et 1 puis pour t supérieur à 1

J'ai réussi à le majorer, mais le problème que j'ai c'est à cause du 0. (Cf, lire la suite de mon message ^^)

J'y arrive si t€]0,+oo[ et je trouve
g(t)=f(a,t) si t€]0,1]
f(b,t) si t€[1,+oo[

Mais si t vaut 0, la fonction f n'est pas définie non?? Ou alors on prend f(x,0)=1 si x=1 et f(x,0)=0 sinon???
Alors la fonction g vaudrait :
g(t)=f(a,t)+1 si t€[0,1]
f(b,t) si t€[1,+oo[.
C'est ça???

[Maxmau]

J'ai réussi à le majorer, mais le problème que j'ai c'est à cause du 0. (Cf, lire la suite de mon message ^^)

OK au temps pour moi, je n'avais pas vu que tu avais trouvé la majoration
Pb en t=0
En fait il n'y en a pas. La valeur de l'intégrale de dépend pas de la valeur attribuée à f(0,x).
Donc soit tu intégres sur ]0,+infini[ en excluant donc t=0
soit tu donnes à f(0,x) une valeur arbitraire par exemple f(0,x)=0
Je suppose que tu as en tête d'utiliser les th de continuité et dérivabilité issus du th de convergence dominée. Or ds le th de convergence dominée on peut supposer que les fonctions de la suite et la fonction dominante sont définis partout sauf en un nombre finis de points (on peut même faire beaucoup mieux). Tout çà parce que l'intégrale ne change pas lorsqu'on modifie la fonction à intégrer en un nombre fini de points.

[Rifl3]

OK au temps pour moi, je n'avais pas vu que tu avais trouvé la majoration
Pb en t=0
En fait il n'y en a pas. La valeur de l'intégrale de dépend pas de la valeur attribuée à f(0,x).
Donc soit tu intégres sur ]0,+infini[ en excluant donc t=0
soit tu donnes à f(0,x) une valeur arbitraire par exemple f(0,x)=0
Je suppose que tu as en tête d'utiliser les th de continuité et dérivabilité issus du th de convergence dominée. Or ds le th de convergence dominée on peut supposer que les fonctions de la suite et la fonction dominante sont définis partout sauf en un nombre finis de points (on peut même faire beaucoup mieux). Tout çà parce que l'intégrale ne change pas lorsqu'on modifie la fonction à intégrer en un nombre fini de points.

D'accord merci,
Finalement j'ai réussi pour la limite , grâce à un changement de variable x=1/y on se retrouve avec du (ln(t))^n/t^(x/2) qui est une limite connue.


Mais j'ai une autre question : comment démontrer l'intégrabilité de sur ]-1,2], sans intégration par partie (même si ça se fait bien) ^^.

PS : j'avais réussi par exemple sur [0,1[ équivalence et par symétrie avec la série de Riemann de paramètre 1/2. Mais je n'y arrive pas sur ]1,2]

[Maxmau]

D'accord merci,
Finalement j'ai réussi pour la limite , grâce à un changement de variable x=1/y on se retrouve avec du (ln(t))^n/t^(x/2) qui est une limite connue.


Mais j'ai une autre question : comment démontrer l'intégrabilité de sur ]-1,2], sans intégration par partie (même si ça se fait bien) ^^.

PS : j'avais réussi par exemple sur [0,1[ équivalence et par symétrie avec la série de Riemann de paramètre 1/2. Mais je n'y arrive pas sur ]1,2]

sur ]1,2] fais le ch de variable x-1 = t et applique le critère de Riemann

[Rifl3]

sur ]1,2] fais le ch de variable x-1 = t et applique le critère de Riemann

Ah ok merci beaucoup.