Opérateur de Hilbert-Schmidt

[Ouimet21]

Bonjour,

J'ai un opérateur de Hilbert-Schmidt défini de L2[0,1] dans L2[0,1] dont le noyau est la fonction:
max(x,y)
Cet opérateur est compact et auto-adjoint.

Je dois trouver toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres associés à cet opérateur.

Pour l'instant, j'ai trouvé que e^x est un vecteur propre pour la valeur propre 1.

Est-ce qu'il y a un truc pour trouver explicitement tout ce qui est demandé?

[girdav]

Si on appelle cet opérateur, en découpant l'intégrale on doit pouvoir trouver une formule plus maniable de l'image de par .

[Ouimet21]

Si on appelle cet opérateur, en découpant l'intégrale on doit pouvoir trouver une formule plus maniable de l'image de par .

C'est ce que j'ai fait

L'opérateur est :



On peut l'écrire comme :



On cherche donc presque partout et tel que



C'est pas trop évident comment trouver les valeurs propres et les vecteurs propres...

[girdav]

On peut en déduire que est dérivable puis résoudre une équation différentielle.

[Ouimet21]

On peut en déduire que est dérivable puis résoudre une équation différentielle.

Je ne sais pas comment justifier la différentiabilité ( est à variation bornée, donc différentiable presque partout??)

Admettons alors que est différentiable (pp), on tombe sur l'équation



Admettons maintenant que est différentiable (pp), on tombe sur l'équation



Mais alors, il y a une solution générale à cette équation (sauf 0)

Mais c'est impossible car l'opérateur est compact...les valeurs propres doivent tendrent vers 0.

[girdav]

Pour justifier la différentiabilité, on peut écrire que comme une somme de deux intégrales d'une fonction intégrable, et les bornes de l'intégrale dépendant de de manière non vicieuse. est donc continue. Puis l'intégrale de 0 à x d'une fonction continue donne une fonction dérivables, etc...

Effectivement, il y a beaucoup de solution à l'équation différentielle obtenue, mais il ne faut pas oublier les conditions aux bord que l'on a laissé en route. Après, il faut voir pour quels on a une solution non nulle.

[Ouimet21]

Pour justifier la différentiabilité, on peut écrire que comme une somme de deux intégrales d'une fonction intégrable, et les bornes de l'intégrale dépendant de de manière non vicieuse. est donc continue. Puis l'intégrale de 0 à x d'une fonction continue donne une fonction dérivables, etc...

Effectivement, il y a beaucoup de solution à l'équation différentielle obtenue, mais il ne faut pas oublier les conditions aux bord que l'on a laissé en route. Après, il faut voir pour quels on a une solution non nulle.

Mais les conditions aux bords dépendent de f...

[girdav]

Oui, il faudra vérifier, quand tu aura des solutions de la forme ou que celles-ci n'entraînent pas que .

[Ouimet21]

Oui, il faudra vérifier, quand tu aura des solutions de la forme ou que celles-ci n'entraînent pas que .

J'ai vérifier pour avec les conditions plus haut, et je trouve que la seule valeur possible pour positif est:



Or, est une solution avec

Alors je crois qu'il y a un problème avec les conditions, il faut m'aider un peu plus, je sais pas comment résoudre ce genre de problème.

[Ouimet21]

Si je suppose

Je trouve que les valeurs propres possibles satisfont

Dans ce cas, il y a un infinité dénombrable de solutions, ce qui est bon signe

dans les deux cas, je ne suis pas capable d'exprimer les valeurs propres explicitement...

Alors je fais quoi???

[Ouimet21]

bump

bump

bump

[antonyme]

bump

bump

bump

aïe

aïe

aïe

[geegee]

Si on appelle cet opérateur, en découpant l'intégrale on doit pouvoir trouver une formule plus maniable de l'image de par .

Bonjour,

J'ai un opérateur de Hilbert-Schmidt défini de L2[0,1] dans L2[0,1] dont le noyau est la fonction:
max(x,y)
Cet opérateur est compact et auto-adjoint.

Je dois trouver toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres associés à cet opérateur.

Pour l'instant, j'ai trouvé que e^x est un vecteur propre pour la valeur propre 1.

Est-ce qu'il y a un truc pour trouver explicitement tout ce qui est demandé?
Bonjour,

http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node79.html

[Ouimet21]

Bonjour,

J'ai un opérateur de Hilbert-Schmidt défini de L2[0,1] dans L2[0,1] dont le noyau est la fonction:
max(x,y)
Cet opérateur est compact et auto-adjoint.

Je dois trouver toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres associés à cet opérateur.

Pour l'instant, j'ai trouvé que e^x est un vecteur propre pour la valeur propre 1.

Est-ce qu'il y a un truc pour trouver explicitement tout ce qui est demandé?
Bonjour,

http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node79.html

Pourquoi tu me link ca??

ca dit absolumment rien