DM: Produit scalaire (1°S)

par **kraki31** » 16 Avr 2012, 16:32

ABCD est un carré de coté a. On place un point M quelconque sur la diagonale [AC]. On note R et N les projetés orthogonaux de M sur les cotes [AB] et [BC]. On veut prouver par deux méthodes différentes que les droites (MD) et (RN) sont perpendiculaires.
Ps: les vecteurs seront représenter en gras et mes réponses en italique

1) Méthode vectorielle: calculer le produit scalaireDM.NR

En décomposant je trouve:
DM.NR= DA.NB + AR.BR + RM.NB

Que faire ensuite? :help:

2) Méthode analytique: se placer dans le repère orthonormé (A,I,J) tel que B appartienne à la demi-droite [AI) et D à la demi droite [AJ), puis déterminer les coordonnées des points B,C,M,N et R dans ce repère.

Je n'ai pas encore commencer a réfléchir pour cette méthode

En ce qui concerne la figure de mon énoncé le côté AB est en bas et DC en haut et le point M se situent a 2/3 de la diagonale en partant de A (pour que nous ayons plus ou moins le même cas de figure) . Je peux également fournir une figure si nécessaire.

Merci, Kraki

par **kraki31** » 16 Avr 2012, 16:35

Excusez moi oublier de dire bonjour à tout le monde avant de poster mon sujet... Désolé et Bonjour à tous un peu en retard ! ^^

par **kassgloth** » 16 Avr 2012, 16:51

Salut,

Pour la première question tu peux ajouter P projeté orthogonal de M sur AD. Trace un dessin et après c'est évident.

DM.NR=(DP+PM).(RM+MN)
DM.NR=DP.RM + DP.MN + PM.RM + PM.MN
DM.NR=DP.RM + 0 + 0 + PM.MN car (DP) et (MN) perpendiculaires et de même pour (PM) et (RM)

Ensuite tu remarques que le cos de DP.RM est égal à -1 et le cos de PM.MN est égal à 1.
Et évidemment DP=MN et RM=PM par construction de projeté

Donc DM.NR=0

par **kraki31** » 16 Avr 2012, 17:03

C'est effectivement une solution mais il ne me semble pas que nous ayons le droit de construire un point sachant que nous avons déjà une figure.

Avec ma décomposition je viens de trouver un résultat qui semble bon ! peux tu me confirmer? DA.NB+AR.BR+RM.NB avec DA=a ; NB=AR=RM=a-x ; BR=x

Du coup: je trouve en remplaçant a²-ax-ax+x²+(-a²+2ax-x²) ce qui donne bien 0 !!!

Est ce correct?

par **kassgloth** » 16 Avr 2012, 17:08

Pour la deuxième question ce n'est pas compliqué non plus.
B(a,0)
C(a,a)
M(x,y) avec x+y=a (facile à démontrer dans un carré)
N(a,y)
R(x,0)
D(0,a)

d'ou le vecteur DM=(x-0;y-a)=(x;y-a)
NR=(x-a;0-y)

Tu sais que DM.NR=xx'+yy'

Donc DM.NR = x(x-a) -y(y-a)
x+y=a
donc DM.NR=x(x-a) - (a-x)(a-x-a) = x(x-a) - x(x-a) = 0

par **kassgloth** » 16 Avr 2012, 17:11

Dans ta méthode tu fais quelque calcul analytique. Le plus simple, c'est de faire ce que je t'ai montré et je ne vois pas pourquoi tu n'as pas le droit d'ajouter un point. C'est complètement débile.

C'est juste un point pour clarifier et aller plus vite dans la rédaction de la démonstration.

par **kraki31** » 16 Avr 2012, 17:37

En effet c'est plus rapide avec le projeté orthogonal je mettrai les deux méthodes ! :)

Pour la seconde question j'ai compris les coordonnées des points mais juste petite question par curiosité comment prouve tu que x+y=a ???

par **kassgloth** » 16 Avr 2012, 18:49

Excuse moi je me suis trompé :) c'est x=y !!! Grosse bourde de ma part désolé. Ca change la fin du calcul mais le résultat reste le même !

En fait tu as (a-x)+y=a donc x=y car MN + MR = a tu es d'accord ?

par **kraki31** » 16 Avr 2012, 19:42

kassgloth a écrit:Excuse moi je me suis trompé c'est x=y !!! Grosse bourde de ma part désolé. Ca change la fin du calcul mais le résultat reste le même !

En fait tu as (a-x)+y=a donc x=y car MN + MR = a tu es d'accord ?

Oui je suis d'accord maintenant !

Merci de ton aide ! :ptdr:

DM: Produit scalaire (1°S)

DM: Produit scalaire (1°S)

Qui est en ligne