Equation fonctionnelle

par **mathelot** » 16 Juin 2006, 16:56

nox a écrit:ba si juste au dessus pour f constante égale a 1 ca vérifie l'équation !

ou alors jme suis trompé mais dites moi ou ^^

on remplace

par la valeur

, il vient:

par **nox** » 16 Juin 2006, 17:08

pourquoi S((1-a)*2+a)= 2-a?

moi j'ai S((1-a)*2+a) = 1.

f(x) = 1 non?

par **mathelot** » 16 Juin 2006, 17:15

nox a écrit:pourquoi S((1-a)*2+a)= 2-a?

moi j'ai S((1-a)*2+a) = 1.

f(x) = 1 non?

d'un côté, S((1-a)*2+a) = f(x) = 1
de l'autre coté, quand on calcule (1-a)*2+a, on trouve 2-a
et en arrondissant à l'entier immédiatement supérieur : 2
les fonctions constantes ne vérifient donc pas l'équation fonctionnelle.

par **nox** » 16 Juin 2006, 17:21

pas si tu prends par exemple a = 3/2

du coup 2-a = 1/2 et S(2-a) = 1.

autant pour moi jviens de voir que |a|<1

donc effectivement...quelque chose ne colle pas.
bien vu mathelot

par **mathelot** » 16 Juin 2006, 17:23

oui,mais il a été dit que

par **nox** » 16 Juin 2006, 17:24

waip j ai modifié au dessus jviens de le voir.

Donc y aurait un probleme deja dans le calcul menant a cette équation.

par contre quand tu dis que

si y>z c'est que tu supposes f continue et croissante deja

par **mathelot** » 16 Juin 2006, 19:24

est le successeur de

.
Notons le

comme les bornes sont entières:

puis

par **Ericeric** » 19 Juin 2006, 02:33

Merci de m'avoir fait realiser une erreur de ma part. Je m'en excuse. L'equation n'est en effet verifiee que pour x>r. Sur ]0;r] f vaut 1.

donc pour resumer, f(x) = (1-a)(1+f(x-y)) + a f(x-z)

et on a bien 0y>0
z>0

par **mathelot** » 19 Juin 2006, 07:32

et

à valeurs entières et on ne peut se passer d'un arrondi (fonction S) ou d'une troncature. Par curiosité, quelle est l'origine de ce problème ?

par **Ericeric** » 19 Juin 2006, 07:44

non non la fonction f est a valeurs dans R+.

Mon probleme concerne le processus suivant.

J'ai une machine qu'il faut remplacer de temps en temps. Je veux savoir combien de fois il faut la remplacer pendant le temps x. f(x) est le nombre de fois moyen qu'il faut remplacer une telle machine sur le temps x. f est donc a valeurs dans R+.
Il y a periodiquement un probleme avec cette machine. Quand ce probleme survient, il y a une probabilite a pour qu'on ait pas besoin de la remplacer. Dans ce cas le probleme suivant intervient au bout d'un temps z.
Avec probabilite (1-a) on doit remplacer la machine (d'ou le +1) et dans ce cas le probleme suivant intervient au bout du temps y.

Le temps est ici "a l'envers" donc on commence par un probleme a l'instant x puis en decroit jusqu'a 0.

par **buzard** » 19 Juin 2006, 14:55

Bonjour,

en ce qui concerne l'equation fonctionnnelle, il me semble qu'il y a bien unicité mais il faudrais le vérifier. a première vue, la solution f semble ne prendre que deux valeurs 0 ou 1, pour le vérifer il faudrais faire un étude conjointe sur les intervalles :
[pz; (p+1)z[ et [qy; (q+1)y[

et si cela se vérifie (que f:R->{0,1}) alors il serais plus judicieux de chercher l'ensemble {x; f(x)=1} dont f est la fonction caractéristique.

Sinon, au niveau de la modélisation y'a des trucs qui cloche :

- f(0) = S(1-a) = 1 si 0
dans un intervalle de temps de longueur x=0 tu doit faire un changement? c'est plutot bizarre

- je ne vois pas l'interet d'une equation fonctionnelle dans un tel processus, une simple étude en tant que processus de Markov à temps continu devrais largement suffire.

par **buzard** » 19 Juin 2006, 15:37

Des problèmes qui interviennent périodiquement, tu peut les prévenir. T'as qu'a faire la modification juste avant que la panne ne survienne.

Sinon l'equation fonctionnelle n'a rien à voir avec ton processus, si tu cherche une valeur moyenne, inutile qu'elle soit entière. Tu confond la variable aléatoire, et ses réalisations. Ensuite la définition "récursive" du nombre moyen de depannage à faire me semble osée, mais bon ...

Si je peut te donner un conseil, commence par modéliser le processus en terme de variable aléatoire, après tu faiis les calculs classiques, des tests d'hypothèses bidons. Une fois que t'a trouver un résultat, tu peut essayer pour le fun des truc fantaisistes avec des equations fonctionnelles si tu veut,

(1-a)(1+f(x-y)) + a f(x-z) =?= E[

] = f(x)

où

est la variable aléatoire représentant le nombre de dépannage réalisé entre t=0 et t=x

Je ne suis pas du tout sure qu'il y ai vraiment égalité.

Pour les pannes, et les processus de Markov, regarde du coté des lois exponentielles et des processus de Poisson. Ca peut servir.

par **Ericeric** » 19 Juin 2006, 15:56

Cf mon dernier post f est pour moi à valeurs réelles et non entières.
f(x) sera l'espérance de la variable aléatoire Nombre de dép moyen à faire sur une durée x. (la condition initiale sur ]0;r] peut paraître bizarre mais ce n'est pas important)

Je suis désolé mais je ne vois pas en quoi l'équation serait erronée.
J'utilise juste le fait que pour une variable aléatoire Z et deux évènements nommés 1 et 2 on a :
E(Z) = P(1) E(Z|1) + P(2)E(Z|2)
(où P(i) est la proba de l'évènement i)

et avec cela je tombe directement sur mon équation...

par **nox** » 20 Juin 2006, 09:30

Je suis plutot d'accord avec buzar et je pense que la théorie des chaines de Markov et des processus de poissons c'est exactement ce qu'il faut utiliser ici.

(Cependant si mes souvenirs sont bons cela suppose que les lois "d'interarrivée" des pannes sont exponentielles non?Or ici on ne sait rien de tel...)

par **Ericeric** » 20 Juin 2006, 10:39

les interarrivees sont connues a l'avance et fixes. Elles valent soit y soit z qui sont des reels donnes.
cela reduit donc pour moi l'interet des processus de markov ou les interarrivees sont bien exponentielles

par **buzard** » 20 Juin 2006, 14:24

Ericeric a écrit:J'utilise juste le fait que pour une variable aléatoire Z et deux évènements nommés 1 et 2 on a :
E(Z) = P(1) E(Z|1) + P(2)E(Z|2)

Pas d'accord, tes évennement 1 et 2 sont complets seulement si à la date x il y a effectivement une panne. Que fais tu des intervals ou ils n'y en a pas? Il faut bien déterminer tous les cas possibles :

- periode apres un cas z
- periode apres un cas y
- instants de pannes

d'apres ce que tu donne, les instants de pannes sont de la forme r+pz+qy, qui n'est pas du tout dense dans R. Expliqué comme tel, ton equation suppose qu'en chaque instant il y a une panne, et qu'en chaque instant on choisi entre depanner ou continuer encore un peu. Cela veut dire que tu assimile une période inter-panne au cas forcé à z.

Je serais plutot d'avis de chercher la tranformé de Laplace de N_x (message précédent). Cela te donnera directement f(x) et meme les moments d'ordre supérieurs.

Tu peut essayer la tranformé de laplace de ton equation, mais je ne suis pas sure que tu trouve un résultat (du moins formel). Pense à faire des cacluls numériques à la place.

par **Ericeric** » 20 Juin 2006, 14:28

cf un post précédent je suppose que le temps demarre a t=x et diminue. La fin est a t=0.
donc les instants de panne ne sont pas les r+py+qz. Ce sont les x + py+qz et comme x peut etre n'importe quoi dans R, c'est bien dense dans R.

Je sais que c'est pas tres malin que la variable temps diminue.

par **buzard** » 20 Juin 2006, 22:27

r+pz+qy ou x+pz+qy, je vois pas la différence!

En ce qui concerne l'inversion du temps, à mon avis c'est tout à fais symétrique, finallement que tu lise de la gauche vers droite ou de la droite vers la gauche c'est qu'une question d'arbitrage.

Et je reviens quand meme sur ce principe :

E[N_x] = P(panne à t=x)*E[N_x | panne à t=x] + P(pas de panne à t=x)*E[N_x | pas de panne à t=x]

Ca c'est plus juste, meme si tu ne sais pas quand les pannes ont commencé. Toi tu te place juste dans le cas conditionné à (panne à t=x). Tu oublie completement la mesure sur les périodes sans panne. Et par ailleurs P(panne à t=x) n'est pas du tout évidente.

Dans tous les cas, pour aboutir t'as que deux solutions, tu fais des statistiques à partir de simulation et tu trouve ainsi le f(x). Ou alors tu essaye différente loi de probabilité des pannes et t'en déduit f(x).

La première solution est de loin la plus facile à mettre en oeuvre.

Et pour conclure, tu passe trop vite de nombre moyen de panne entre t=0 et t=x, à nombre moyen de panne sur un interval de longueur x. Il n'y a egalité que si ton processus est sans mémoire, or la périodicité des pannes contredit completement ce principe.

la bonne relation serais plutot un truc du genre :

f(x) =

bref, si ca peut t'aider ou t'eclaircir je m'en voit ravis. Moi ca me fais peur ce genre d'expression.

par **hatano** » 21 Juin 2006, 03:46

Je pense que tu devrais te tourner vers la litterature!!!
En effet, il suffit d utiliser google et tu tombes immediatement sur le theoreme Natto qui utilise le corollaire Kaneda (cf. wikipedia).

par **nox** » 21 Juin 2006, 09:04

Aucun document ne correspond aux termes de recherche spécifiés ("theoreme natto" + wikipedia)

Aucun document ne correspond aux termes de recherche spécifiés ("corollaire Kaneda").

de mon coté c'est l'échec cuisant ^^
t'es sur de l'orthographe? Et puis ces théorèmes ne me disent vraiment rien...Je pense qu'il y a un moyen beaucoup plus simple et pédagogique pour résoudre ce problème.

Par contre on pourrait avoir l'énoncé exact?
C'est sur que c'est le genre de problème vraiment type pour l'application des chaînes de Markov mais je ne pense pas qu'on puisse aboutir si on n'a aucun renseignement sur les lois des différentes variables.
Si effectivement on ne nous dit rien et qu'on veut appliquer cette théorie de Markov rigoureusement alors là ça va être beaucoup plus complexe...et donc le passage par l'équation fonctionnelle serait la seule voie directe en effet.

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