Les suites

[Romi36]

Bonjour à tous,

Alors je vous mets tout de suite au parfum : Je fais une allergie aux suites ... et en Terminale S c'est embêtant hein ? :mur:

Donc voilà je bloque sur mon DM,

Données de l'énoncé : f(x) = kx(1-x)
0 0 alors Un croissante. Mais ... j'ai pas Un ...

Je prends tous les coups de mains ... Merci d'avance

[antonyme]

1°/ Démontrer que si la suite (Un) converge alors sa limite l vérifie la relation f(l) = l

Salut Romi,
On à les relations suivantes : lim Un = l
d'où lim f(Un) = f(l)
Mais aussi lim f(Un)= lim U(n+1) = lim Un = l

a) Étudier le sens de variation de la suite (Un)
Alors là par contre sur la méthode j'ai une idée ! Si : (Un+1 - Un) > 0 alors Un croissante. Mais ... j'ai pas Un ...

Tu n'as pas Un mais tu à U(n+1) en fonction de Un et tu sais que 0 <= Un <= 1
Mais je n'ai pas bien compris l'expression de f, est-ce f(x) = -kx² ?

[Romi36]

Salut Romi,
On à les relations suivantes : lim Un = l
d'où lim f(Un) = f(l)
Mais aussi lim f(Un)= lim U(n+1) = lim Un = l


Tu n'as pas Un mais tu à U(n+1) en fonction de Un et tu sais que 0 <= Un <= 1
Mais je n'ai pas bien compris l'expression de f, est-ce f(x) = -kx² ?

Salut et merci de ta réponse,

f(x) = kx(1-x) j'ai fais une erreur de frappe excuse moi :marteau:
J'ai vraiment un gros problème avec les indices ... Un et Un+1, je ne vois jamais comment passer de l'un à l'autre ...

Pour la première je fais donc :
Je sais que lim Un = l
et que la lim f(Un) = f(l)
or la lim f(Un) = lim U(n+1),
donc si : lim U(n+1) = l

Euuh, mais je ne vois pas comment aboutir enfaite ...

Pour la deuxième :
Une étude signe (via la dérivée) de la fonction f(x) peut-être ?

Merci d'avance :lol3:

[antonyme]

Salut et merci de ta réponse,

f(x) = kx(1-x) j'ai fais une erreur de frappe excuse moi :marteau:
J'ai vraiment un gros problème avec les indices ... Un et Un+1, je ne vois jamais comment passer de l'un à l'autre ...

Pour la première je fais donc :
Je sais que lim Un = l
et que la lim f(Un) = f(l)
or la lim f(Un) = lim U(n+1),
donc si : lim U(n+1) = l

Euuh, mais je ne vois pas comment aboutir enfaite ...

Pour la deuxième :
Une étude signe (via la dérivée) de la fonction f(x) peut-être ?

Merci d'avance :lol3:

1) Tu as prouvé que lim f(Un) = f(l) et que lim f(Un) = l tu peux donc conclure :lol3:
2) Ta première méthode était la bonne : étude du sens de variation de Un par l'étude du signe de U(n+1) - Un.
Il faut maintenant remplacer U(n+1) par sont expression en fonction de Un et voir si tu arrive à simplifier de manière à trouver le signe de la relation.
Si cette première méthode ne te permet pas de conclure tu compare le rapport U(n+1)/Un à 1 de la même manière (remplacer U(n+1))

Comment exprimer U(n+1) en fonction de Un? --> U(n+1) = f(Un) = Un(1-Un)

[Romi36]

1) Tu as prouvé que lim f(Un) = f(l) et que lim f(Un) = l tu peux donc conclure :lol3:
2) Ta première méthode était la bonne : étude du sens de variation de Un par l'étude du signe de U(n+1) - Un.
Il faut maintenant remplacer U(n+1) par sont expression en fonction de Un et voir si tu arrive à simplifier de manière à trouver le signe de la relation.
Si cette première méthode ne te permet pas de conclure tu compare le rapport U(n+1)/Un à 1 de la même manière (remplacer U(n+1))

Comment exprimer U(n+1) en fonction de Un? --> U(n+1) = f(Un) = Un(1-Un)

Pour la première j'ai compris ! Merci beaucoup :lol3:
Pour la deuxieme... Aller je me lance !
U(n+1) - Un
Un(1-Un) - Un
Un - Un² - Un
-Un²
Donc -Un² est négatif à cause du signe moins et du carré qui est toujours positif.
On en conclut que la suite est décroissante.
Correcte ? :id:

[Romi36]

La suite de l'exercice comprends une démonstration par réccurence ( apparament assez simple ... ).
Peut tu me dire si la démonstration et correcte et surtout m'aider pour la mise en forme ...?

[U]b) démontrer par réccurence que pour tout entier n : 0 p(k) = f(0) p(k) = 0 <= Uk+1 <= 0

P(k+1) est vraie.

Conclusion :
P(0) est vraie, p(k+1) est vraie, donc la proposition est vraie pour tout n de N car elle est héréditaire.

[antonyme]

Pour la première j'ai compris ! Merci beaucoup
Pour la deuxieme... Aller je me lance !
U(n+1) - Un
Un(1-Un) - Un
Un - Un² - Un
-Un²
Donc -Un² est négatif à cause du signe moins et du carré qui est toujours positif.
On en conclut que la suite est décroissante.
Correcte ? :id:

C'est exactement ça bravo! :+++:

[quote="Romi36"]
p(k) = 0 p(k) = f(0) p(k) = 0 1/2)
Mais pour le reste la méthode est bonne il faut juste procéder étape par étape :
tu par de : 0 <= Uk <= 1 tu veux arriver à un encadrement de Uk(1-Uk), il faut donc d'abord trouver un encadrement de 1-Uk et le multiplier avec celui de Uk :lol3:

[Romi36]

[quote="antonyme"]C'est exactement ça bravo! :+++:


Pour dire que f est croissante il faudrait le prouver car ça n'a rien d'évident et puis... ici ce n'est pas le cas (f'(x) = -2x+1, c'est négatif pour x>1/2)
Mais pour le reste la méthode est bonne il faut juste procéder étape par étape :
tu par de : 0 -Uk => -1
p(k) = 1-0 => 1- Uk => 1-1
p(k) = 1 => 1-Uk => 0
p(k) = Uk => Uk(1-Uk) => 0

Heuuu ... :help:

[antonyme]

Bon j'abandonne pas !

p(k) = 0 -Uk => -1
p(k) = 1-0 => 1- Uk => 1-1
p(k) = 1 => 1-Uk => 0
p(k) = Uk => Uk(1-Uk) => 0

Heuuu ... :help:

rha, tu étais à deux doigts de la réponse :lol3: Lorsque tu multiplie un nombre compris entre 0 et 1 avec un autre nombre compris entre 0 et 1 tu obtiens un nombre compris entre... ?

[Romi36]

rha, tu étais à deux doigts de la réponse :lol3: Lorsque tu multiplie un nombre compris entre 0 et 1 avec un autre nombre compris entre 0 et 1 tu obtiens un nombre compris entre... ?

p(k) = 0 -Uk => -1
p(k) = 1-0 => 1- Uk => 1-1
p(k) = 1 => 1-Uk => 0

Or, quand on multiplie 1-Uk qui est compris entre 0 et 1, par Uk, lui meme compris entre 0 et 1, on obtient un nombre compris entre 0 et 1.

Ainsi on peut écrire que : p(k) = 1 => Uk(1-Uk) => 0
et que donc : p(k) = 1 => Uk+1 => 0
Donc P(k+1) est vraie.

Correcte ? :id:

[antonyme]

p(k) = 0 -Uk => -1
p(k) = 1-0 => 1- Uk => 1-1
p(k) = 1 => 1-Uk => 0

Or, quand on multiplie 1-Uk qui est compris entre 0 et 1, par Uk, lui meme compris entre 0 et 1, on obtient un nombre compris entre 0 et 1.

Ainsi on peut écrire que : p(k) = 1 => Uk(1-Uk) => 0
et que donc : p(k) = 1 => Uk+1 => 0
Donc P(k+1) est vraie.

Correcte ? :id:

C'est ça, bravo! Je suis sûr qu'avec un peu de travail tu aura vite guéri ton allergie aux séries :zen:

[Romi36]

C'est ça, bravo! Je suis sûr qu'avec un peu de travail tu aura vite guéri ton allergie aux séries :zen:

Merci beaucoup :lol3:
Mais j'ai pas encore finis, j'ai deux autres démonstration par récurrence à faire ... je te poste ça, ça devrait être bon ... du moins j'espère :doh:

[Romi36]

On suppose que U0 = 0.3 et k = 1.8

b) démontrer par réccurence que pour tout entier n : 0 <= Un <= 1/2

On appelle P(n) la proposition " 0 <= Un <= 1/2 "

Initialisation :
On vérifie que la proposition est vraie au rang 0 :
On sait que U0 = 0.3 ainsi : 0 <= 0.3 <= 1/2
Donc P(0) est vraie.

Hérédité :
On appelle k un entier naturel strictement positif tel que : p(k) est vraie. On cherche a montrer que p(k+1) est vraie.

p(k) = 0 <= Uk <= 1/2
p(k+1) = 0 <= Uk+1 <= 1/2

On part de p(k) afin d'arriver à p(k+1) :
On sait que : Uk+1 = 1.8Uk(1-Uk)

p(k) = 0 <= Uk <= 1
p(k) = 0 >= -Uk >= -1
p(k) = 1 >= 1-Uk >= 0
p(k) = 1 >= Uk(1-Uk) >= 0
p(k) = 1.8 >= 1.8Uk(1-Uk) >= 0
p(k) = 1.8 >= Uk+1 >=0
p(k) = .... :briques:

[antonyme]

On suppose que U0 = 0.3 et k = 1.8

b) démontrer par réccurence que pour tout entier n : 0 = -Uk >= -1
p(k) = 1 >= 1-Uk >= 0
p(k) = 1 >= Uk(1-Uk) >= 0
p(k) = 1.8 >= 1.8Uk(1-Uk) >= 0
p(k) = 1.8 >= Uk+1 >=0
p(k) = .... :briques:

Tout est là :lol3: