Suites MPSI

[Rifl3]

Bonjour,
Voila, j'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre pourriez vous me donner une indication afin de me débloquer svp??
Voila l'énoncé : Un=1+1/2!+1/3!+...+1/n! ; Vn=Un+1/n!
1)Démontrer que ces deux suites sont adjacentes
2)On admet que Un->e, démontrer que e est irrationnel en posant e=p/q par l'absurde.
Donc je bloque à la 2) j'ai essayé plusieurs trucs sans aboutir, pourriez vous me donner une étape intermédiaire ou une indication s'il vous plait??

Merci beaucoup

PS : je met l'énoncé complet en image ce sera plus compréhensible :

[bend]

Bonjour,
Voila, j'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre pourriez vous me donner une indication afin de me débloquer svp??
Voila l'énoncé : Un=1+1/2!+1/3!+...+1/n! ; Vn=Un+1/n!
1)Démontrer que ces deux suites sont adjacentes
2)On admet que Un->e, démontrer que e est irrationnel en posant e=p/q par l'absurde.
Donc je bloque à la 2) j'ai essayé plusieurs trucs sans aboutir, pourriez vous me donner une étape intermédiaire ou une indication s'il vous plait??

Merci beaucoup

PS : je met l'énoncé complet en image ce sera plus compréhensible :

Bonjour :

indication :

1 - Montrer que :
a - ( c'est directe )
b - Montrer que est croissante ( c'est facile)
c - Montrer que ( et deduire le sens de variations de
d-Conclure


2 - Raisone par l'absurde comme indiqué dans l'ennoncé :

a - d'abord on a (1) => ; applique la definition de limite pour les deux suites et

( rappel :


b - par un choix judicieux des , essaie de trouver l'absurdité

cordialement

[Maxmau]

Bonjour,
Voila, j'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre pourriez vous me donner une indication afin de me débloquer svp??
Voila l'énoncé : Un=1+1/2!+1/3!+...+1/n! ; Vn=Un+1/n!
1)Démontrer que ces deux suites sont adjacentes
2)On admet que Un->e, démontrer que e est irrationnel en posant e=p/q par l'absurde.
Donc je bloque à la 2) j'ai essayé plusieurs trucs sans aboutir, pourriez vous me donner une étape intermédiaire ou une indication s'il vous plait??

Merci beaucoup

PS : je met l'énoncé complet en image ce sera plus compréhensible :

Bj
Uq+1 < p/q < Vq+1
multiplie par q! et repère les entiers

[Rifl3]

Merci beaucoup pour vos réponses,
j'ai réussi grâce à ta méthode Maxmau, mais je ne vois pas l’intérêt de cherche Uq+1

car en faisant juste Uq

Et lorsque l'on fait Uq+1*(q!) on a le terme en 1/(q+1) qui n'est pas un entier.

J'ai aussi réussi ta méthode à l'epsilon bend :). En posant epsilon=1/q
Par contre ta définition donnée à la 1a est-elle valable? Car la notre donne |Un-e|=Peut-on l'utiliser lors de concours? Car elle m'arrange dans cette démo, car en posant epsilon=1/q je trouve que p=q-1 ou p=q ou p=q+1 avec le inférieur ou égal et juste p=q avec le stricte. :)

Merci en tout cas

[Maxmau]

Merci beaucoup pour vos réponses,
j'ai réussi grâce à ta méthode Maxmau, mais je ne vois pas l’intérêt de cherche Uq+1<p/q<Vq+1
car en faisant juste Uq<p/q<Vq marche très bien
Et lorsque l'on fait Uq+1*(q!) on a le terme en 1/(q+1) qui n'est pas un entier.
Merci en tout cas

"car en faisant juste Uq<p/q<Vq marche très bien"
effectivement. mais il faut bien remarquer alors que les inégalités sont strictes
avec ma méthode on arrive au fait qu'il existerait un entier entre 1/(q+1) et 2/(q+1) ce qui est naturellement impossible.

[Rifl3]

aah ok ça marche :). Je ne l'avais pas vu comme ça.
Oui oui, je m'en suis servis pour en arriver à la conclusion que p*(q-1)! était compris strictement entre deux entiers consécutif, donc impossible?
Merci encore en tout cas.

Et pas de réponses pour l'epsilon?? :)

[bend]

aah ok ça marche . Je ne l'avais pas vu comme ça.
Oui oui, je m'en suis servis pour en arriver à la conclusion que p*(q-1)! était compris strictement entre deux entiers consécutif, donc impossible?
Merci encore en tout cas.

Et pas de réponses pour l'epsilon??

bonsoir ; pour la definition " c'est inferieur ou egale " c'est moi qui me suis trompé en tapant la formule

cordialement

[bend]

aah ok ça marche . Je ne l'avais pas vu comme ça.
Oui oui, je m'en suis servis pour en arriver à la conclusion que p*(q-1)! était compris strictement entre deux entiers consécutif, donc impossible?
Merci encore en tout cas.

Et pas de réponses pour l'epsilon??

pour le epsilon c'est inferieure ou egale

cordialament

[Rifl3]

"car en faisant juste Uq<p/q<Vq marche très bien"
effectivement. mais il faut bien remarquer alors que les inégalités sont strictes
avec ma méthode on arrive au fait qu'il existerait un entier entre 1/(q+1) et 2/(q+1) ce qui est naturellement impossible.

Par contre, Maxmau je viens d'essayer ta méthode, car avec la mienne il faut que je montre que les suites sont strictement monotones (même si ça se fait vite). Donc je voulais voir si ta méthode était plus rapide.
Bref j'aboutis contrairement à toi qu'il existe un
car je trouve
et donc on peut mettre sous la forme avec a compris entre 0 et 1/(q+1)
Or
Or comme (q-1)!p€Z on en déduit que a+1/(q+1)€Z et pas juste 1/(q+1) non??

PS : je suis pas bon en LateX du coup le "&" veut dire "et"

[Maxmau]

Par contre, Maxmau je viens d'essayer ta méthode, car avec la mienne il faut que je montre que les suites sont strictement monotones (même si ça se fait vite). Donc je voulais voir si ta méthode était plus rapide.
Bref j'aboutis contrairement à toi qu'il existe un
car je trouve
et donc on peut mettre sous la forme avec a compris entre 0 et 1/(q+1)
Or
Or comme (q-1)!p€Z on en déduit que a+1/(q+1)€Z et pas juste 1/(q+1) non??

PS : je suis pas bon en LateX du coup le "&" veut dire "et"

q!Uq+1 = A + 1/(q+1) où A est entier
q! Vq+1 = A + 2/(q+1)
donc 1/(q+1) < p (q-1)! - A < 2/(q+1)
où p (q-1)! - A est entier

tu retrouves bien ça avec ton raisonnement: a+ 1/(q+1) est un entier compris entre 1/(q+1) et 2/(q+1)

on a contradiction sauf ds le cas q=1 (sauf si on a pris soin de justifier une inégalité au sens strict à droite) mais ce cas est évident à traiter

finalement le plus simple (comme tu l'avais envisagé) est de dire que l'encadrement Un < e < Vn est strict puisque les suites U et V sont respectivement strictement croissante et strictement décroissante.
si e =p/q on a donc: q!Uq < p (q-1)! < q!Vq d'où 0 < p (q-1)! - q!Uq < 1 avec [p (q-1)! - q!Uq] entier

[Rifl3]

Oulaa, désolé sur mon brouillon j'avais

et j'ai pas fait le lien avec le fait que
J'devais être fatigué hier soir. ^^
Merci en tout cas, et j'préfère aussi la méthode en démontrant que les suites sont strictement monotones