Morphisme groupe

[marcelgore]

Bonjour,

J'ai du mal à déterminer le noyau d'un morphisme de groupes.
Par exemple la fonction s suivante:

( Z / nZ )* -------> ( Z / n²Z)*
r modulo n -------> 'r puissance n' modulo n²

(on suppose que l'indicatrice d'euler Phi(n) est première avec n).

J'ai montré que cette fonction était un morphisme de groupe, mais on me demande maintenant de montrer son injectivité. J'en conclus qu'il me faut prouver que Ker s = {1}.
Mais je cale complètement :doh:

[ev85]

Bonjour,

J'ai du mal à déterminer le noyau d'un morphisme de groupes.
Par exemple la fonction s suivante:

( Z / nZ )* -------> ( Z / n²Z)*
r modulo n -------> 'r puissance n' modulo n²

(on suppose que l'indicatrice d'euler Phi(n) est première avec n).

J'ai montré que cette fonction était un morphisme de groupe, mais on me demande maintenant de montrer son injectivité. J'en conclus qu'il me faut prouver que Ker s = {1}.
Mais je cale complètement :doh:

Salut Marcel !

Soit r dans le noyau. Que peux-tu dire de l'ordre de r' dans ( Z / n²Z)* ?

[marcelgore]

Salut Marcel !

Soit r dans le noyau. Que peux-tu dire de l'ordre de r' dans ( Z / n²Z)* ?

Hhhm.... je dirais que l'ordre de r' dans (Z / n²Z)* divise l'ordre de r dans ( Z /nZ) (désolé si je fournis pas la réponse attendue mais je patauge un peu :marteau: )

[ev85]

Hhhm.... je dirais que l'ordre de r' dans (Z / n²Z)* divise l'ordre de r dans ( Z /nZ) (désolé si je fournis pas la réponse attendue mais je patauge un peu :marteau: )

Mouais, Pourquoi ?

De toutes façon, c'est l'ordre de dans / qui est intéressant.

- d'une part ...
- d'autre part ...

[marcelgore]

Mouais, Pourquoi ?

De toutes façon, c'est l'ordre de dans / qui est intéressant.

- d'une part ...
- d'autre part ...

soit e le neutre de (Z / nZ)*
d'une part si s est injective, Ker s = {e} et donc l'ordre de est égal à 1... :hum:
d'autre part : :mur:

[ev85]

soit e le neutre de (Z / nZ)*
d'une part si s est injective, Ker s = {e} et donc l'ordre de est égal à 1... :hum:
d'autre part : :mur:

Pouf, pouf.

Soit /. Pour l'instant, je ne sais rien de plus sur lui, juste qu'il s'appelle .

Qu'est-ce que je peux dire a priori sur son ordre dans / ? Mmmh ?

[marcelgore]

Pouf, pouf.

Soit /. Pour l'instant, je ne sais rien de plus sur lui, juste qu'il s'appelle .

Qu'est-ce que je peux dire a priori sur son ordre dans / ? Mmmh ?

Dans ce cas je peux seulement dire qu'il divise phi(n) :/ (phi = indicatrice d'euler)

[ev85]

Dans ce cas je peux seulement dire qu'il divise phi(n) :/ (phi = indicatrice d'euler)

OK ! Maintenant je me souviens brusquement que j'ai que puis-je en déduire modulo n ?

[marcelgore]

OK ! Maintenant je me souviens brusquement que j'ai que puis-je en déduire modulo n ?

Eeeeh bien.... Mais pourtant phi(n) est premier avec n donc ça ne devrait pas être le cas :hum:

[ev85]

Eeeeh bien.... Mais pourtant phi(n) est premier avec n donc ça ne devrait pas être le cas :hum:

Qu'est-ce qu entends par là ?

Tu as effectivement . Qu'en déduis-tu pour l'ordre de r dans ? Mmmh ?

[marcelgore]

Qu'est-ce qu entends par là ?

Tu as effectivement . Qu'en déduis-tu pour l'ordre de r dans ? Mmmh ?

Eh bien l'ordre de r divise a la fois phi(n) et n, or n et phi(n) sont premiers entre eux, l'ordre de r ne peut donc être que 1.

[ev85]

Eh bien l'ordre de r divise a la fois phi(n) et n, or n et phi(n) sont premiers entre eux, l'ordre de r ne peut donc être que 1.

Il me semble que tu as la réponse à ta question.

Bonne soirée.

[marcelgore]

Il me semble que tu as la réponse à ta question.

Bonne soirée.

En tout cas merci pour ta méthode pédagogique. C'est au final bien mieux qu'une réponse toute faite.

Bonne soirée.