par Doraki » 13 Mar 2012, 16:05
comme on cherche des fonctions continues, on peut se restreindre à chercher f sur Q.
Aussi, pour que ne pas s'embêter à cause du 1/x, on peut chercher f sur Qu{;)} en posant 1/0 = ;), 1/;) = 0, et ;)+1 = ;).
Soit g(x) = f(x) + f(1/x) - f(x+1).
0 = g(1/(x-1)) - g(x-1) = f(x) - f(x/(x-1)), donc f(x) = f(x/(x-1)).
0 = g(-1/x) + g(1/(x-1)) + g((1-x)/x) + g((x-1)/x) - g(1-x) - g(x-1) - g(x/(1-x)) - g(-x)
= (f(x)+f(2-x)) - (f(1/x)+f(2-(1/x))),
et
0 = g((1-x)/x) + g(x) - g(1-x) - g(x/(1-x)) = (f(x)+f(2-x)) - (f(x+1)+f(2-(x+1))),
donc la fonction f(x)+f(2-x) est invariante par x->x+1 et x->1/x.
comme ces deux transformations engendrent les homographies, et qu'elles agissent transitivement sur Qu{;)}, la fonction f(x)+f(2-x) est donc constante.
On peut donc simplifier l'équation fonctionnelle grâce à ces deux symétries.
f est déterminée par ses valeurs sur [0;1], et en fait la condition sur f|[0;1] obtenue est :
Pour tout x de [0;1/2], f(x) + f(1-x) = f((1-2x)/(1-x)).
Soit d : [0;1] -> [0;1] définie par d(x) = 1-x,
et h : [0;1] -> [0;1] définie par h(x) = (1-2x)/(1-x) pour x<=1/2, et h(x) = h(d(x)) pour x>=1/2.
On a d(d(x)) = x et h(x) = h(d(x)) pour tout x de [0;1], et les fonctions cherchées sont les fonctions vérifiant f(x) + f(d(x)) = f(h(x)) pour tout x de [0;1].
Soit G(x) = f(x) - f(d(x)). Alors G est une fonction continue telle que G(x) + G(d(x)) = 0.
Soit F(x) = G(x)/2 - G(d(h(x)))/4 - G(d(h(h(x))))/8 - ... (c'est une fonction continue)
Alors F(x) = f(x)/2 - f(d(x))/2 - f(d(h(x)))/4 + f(h(x))/4 - f(d(h(h(x))))/8 + f(h(h(x))/8 + ...
= f(x) - (f(x) + f(d(x)) - f(h(x)))/2 - (f(h(x)) + f(d(h(x))) - f(h(h(x))))/4 - ...
= f(x).
Réciproquement, si G est une fonction continue de [0;1] dans [0;1] vérifiant G(x)+G(d(x)) = 0,
et si on pose F(x) = G(x)/2 - G(d(h(x)))/4 - G(d(h(h(x))))/8 - ... ,
alors F(x) + F(d(x)) - F(h(x)) = (G(x) + G(d(x)) - G(h(x)))/2 - G(d(h(x))) + G(d(h(x))) - G(d(h(h(x))))/4 - ...
= (G(x) + G(d(x)))/2 - (G(h(x)) + G(d(h(x))))/2 - (G(h(h(x))) + G(d(h(h(x)))))/4 - ... = 0,
et F(x) - F(d(x)) = G(x)/2 - G(d(x))/2 = G(x) - (G(x)+G(d(x)))/2 = G(x).
On a donc décrit une bijection entre les fonctions G continues sur [0;1] satisfaisant G(x) + G(d(x)) = 0 et les fonctions F continues sur [0;1] satisfaisant F(x) + F(d(x)) = F(h(x)), et donc avec les fonctions f continues sur Ru{;)} satisfaisant f(x)+f(1/x) = f(x+1).
Et les fonctions G continues satisfaisant G(x) + G(d(x)) = 0, sont déterminées par leur valeur sur [0;1/2], et la seule condition sur G|[0;1/2] est G(1/2) = 0. C'est facile à résoudre.