Suites et nombres complexes

[lyyski]

Bonjour,

Je souhaiterais avoir des explications concernant l'exercice suivant :

On considère la suite complexe Z(n) (avec n entier naturel) définie par : z(0)= 1 et, pour tout n entier naturel, Z(n+1)= (1/2)(1+i)Z(n)

Pour tout n entier naturel, on appelle M(n) le point d'affixe Z(n) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).

1) Montrer que la suite (|Z(n)|) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme

2) Montrer que arg(Z(n))= n(pi/4) [2pi], en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que M(n) appartienne à l'axe des réels

3) Montrer que, pour tout entier naturel, les triangles OM(n)M(n+1) sont rectangles en M(n+1)

Si vous pouviez m'expliquer chaque question (mais aussi chaque réponse), je serais grandement satisfait.

Merci d'avance, Thibault.A

[Jota Be]

Bonjour,

Je souhaiterais avoir des explications concernant l'exercice suivant :

On considère la suite complexe Z(n) (avec n entier naturel) définie par : z(0)= 1 et, pour tout n entier naturel, Z(n+1)= (1/2)(1+i)Z(n)

Pour tout n entier naturel, on appelle M(n) le point d'affixe Z(n) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).

1) Montrer que la suite (|Z(n)|) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme

2) Montrer que arg(Z(n))= n(pi/4) [2pi], en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que M(n) appartienne à l'axe des réels

3) Montrer que, pour tout entier naturel, les triangles OM(n)M(n+1) sont rectangles en M(n+1)

Si vous pouviez m'expliquer chaque question (mais aussi chaque réponse), je serais grandement satisfait.

Merci d'avance, Thibault.A

Bonjour Thibault,
Si on considère la suite définie par récurrence telle que :


Alors nous avons :

[lyyski]

Bonjour Thibault,
Si on considère la suite définie par récurrence telle que :


Alors nous avons :

Donc le premier terme est bien évidemment 1 et la raison q= racine de 2 / 2, c'est bien ça ?

[Jota Be]

Donc le premier terme est bien évidemment 1 et la raison q= racine de 2 / 2, c'est bien ça ?

C'est exact.

[lyyski]

En ce qui concerne la deuxième question, je ne vois vraiment pas vers où il faut se pencher...

[Jota Be]

En ce qui concerne la deuxième question, je ne vois vraiment pas vers où il faut se pencher...

Commence à déterminer l'expression générale de en fonction de n.

[lyyski]

Commence à déterminer l'expression générale de en fonction de n.

Euh... Z(n)= Z(0)*q^n ?

[Jota Be]

Euh... Z(n)= Z(0)*q^n ?

Oui. Qu'est-ce que ça te donne ?

[lyyski]

Oui. Qu'est-ce que ça te donne ?

(racine de 2 / 2)^n ?

[Jota Be]

(racine de 2 / 2)^n ?

Bien. Continue

[lyyski]

On vient de m'expliquer le reste de l'exercice.

Merci infiniment d'avoir pris le temps de me répondre