Anneau et inversibles à gauche

[AlexisD]

Bonjour à tous,

Je ne sais pas si cette question a été posée mais j'essaie de trouver un exemple d'anneau, évidemment non commutatif, dans lequel on a des inversibles à gauche et pas à droite.

Si on considère un morphisme linéaire f: E -> F tel qu'il existe g:F->E vérifiant fog=Id_F, on dit que f admet une inverse à droite mais ici, on n'a pas d'anneau. Cet exemple ne répond donc pas à ma question...

Merci à vous.

[AlexisD]

Re,

Désolé, j'aurais du regarder plus en détail avant de poser la question car j'ai déjà une réponse. Cela dit, si vous en avez d'autres à me suggérer, je suis preneur.

Il s'agit de prendre : E= R(X) l'anneau des séries formelles et considérer alors A=L(E) l'anneau des endomorphismes de E.
Je prends D l'opérateur de dérivation et J l'opérateur d'intégration.
Alors DoJ= Id mais D n'est pas inversible à gauche. Dans car sinon, il existerait T tel que ToD=Id donc D serait injectif, ce qui faux...
Pour ceux que ça intéresse, il est dans le Hauchecorne, contrexemples en mathématiques.

[Doraki]

Tu n'as pas besoin de toute la structure de R(X).

Prend un K-espace vectoriel E de dimension infinie, et A = (L(E),+,°)
Par exemple si E = ,
prend le f dans A défini par f(e(i+1)) = ei et f(e0)=0 ; et g défini par f(ei) = e(i+1).
f°g = id, mais pas g°f.