Une limite a couper le souffle...

[Sora]

Lim (sinx-x)/x^3 lorsque x tend vers 0
Et merci :we:

[Mikou]

salut,

[Mikou]

ne pourrais tu pas encadrer ta fonction par -x²-(1/6) et x²+1/6 ?

[dilzydils]

Par DL, c'est immédiat

[Sora]

Comment ça!!!par DL?
Explique moi STP

[Anonyme]

Travaillons tout d'abord sur l'intervalle





(car supérieur à 0 sur )
Or:

(limite d'une fonction rationnelle)




(car x² tend vers en 0)

Enfin, comme , par comparaison de limite, on en déduit donc que:






De plus, .

Donc









On en déduit donc que f(x) est paire.

Or, comme . De par la parité de f(x), on en déduit que:



Ainsi:



:we:

[Sora]

Tu as fait une grossière erreur!!! lim (1-x)/x^3 lorsque x ten vers 0+ est + l'infinie!!!

[Mikou]

oui dailleurs la limite pour info est -1/6 dou les polynome que j'ai proposé

[Mikou]

sur ]0,1]
equivaut a
(notée f)
si tu montre que cette expression est positive linterval alors tu demontres la premier inegalite ( la seconde etant )
Pour cela tu peux par exemple deriver derivé 3 fois et conclure que 'f' est croissante, par prolongement elle admet donc un minimum en 0 lequel vaut 0, tu as donc bien

de la meme facon tu aurais montré la seconde inegalité
tu as donc

On utilise alors le th des gendarmes, et lon conclut que la limite de
en 0 ( par valeure superieure ) vaut -1/6 :happy3:

[Adam*]

salut!
oui on peut utiliser les encadrements dans ce cas ( N.B: sin x =sigma(k de1àl'infini) (-1)^k(x^2k+1)/(2k+1)! : alors pour l'encadrer on s'arrête sur les moins du côté infirieur et sur les plus de l'autre côté ) mais aussi on peut utiliser le théorème de l'hôpital (qu'on peut démontrer)
le théorème est le suivant: soit f et g deux fonctions dérivables n fois sur IR et f(x0)=g(x0) alors lim (x--->x0) f(x)/g(x) = lim (x--->x0) f'(x)/g'(x) = lim (x--->x0) f"(x)/g"(x)=....

[big-bang]

Montrer que : quel q soit x#0 :

l sinx-x l < l x^3 l/6 , cette relation est valable seulement pour x#0.

à toi de continuer .
.

[hero_h_2zef]

inutile ici de partir dans des encadrements : le plus simple est d'écrire le développement limité du sinus à l'ordre 3 en 0 :
sin(x) = x - ((x^3)/6) + o((x^3)) ( x -> 0 )
( meilleur polynome approchant le sinus en 0 à l'ordre 3 )
d'ou directement :
(sin(x)-x)/(x^3)) = -1/6 + o(1) ( x -> 0 )
on retrouve bien cette limite de -1/6 en 0 .